Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3623 / 2410
↖ ↑ ↗
← N 59.310768°
W 20.786133°		 ← 2 493.97 m → N 59.310768°
W 20.742188°		 →
↑
2 494.76 m
↓
↑
2 494.76 m
↓
N 59.288332°
W 20.786133°		 ← 2 495.62 m →
6 223 912 m²		 N 59.288332°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44232177734375 y=0.29425048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44232177734375 × 213)
    floor (0.44232177734375 × 8192)
    floor (3623.5)     		tx = 3623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29425048828125 × 213)
    floor (0.29425048828125 × 8192)
    floor (2410.5)     		ty = 2410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3623 / 2410 ti = "13/3623/2410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3623/2410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3623 ÷ 213
    3623 ÷ 8192     		x = 0.4422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2410 ÷ 213
    2410 ÷ 8192     		y = 0.294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294189453125 × 2 - 1) × π
    0.41162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29314580415063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36278646} λ = -0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29314580415063))-π/2
    2×atan(3.64423258482191)-π/2
    2×1.30298225474763-π/2
    2.60596450949526-1.57079632675     		φ = 1.03516818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03516818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.310768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3623 KachelY 2410 -0.36278646 1.03516818 -20.786133 59.310768
    Oben rechts KachelX + 1 3624 KachelY 2410 -0.36201947 1.03516818 -20.742188 59.310768
    Unten links KachelX 3623 KachelY + 1 2411 -0.36278646 1.03477660 -20.786133 59.288332
    Unten rechts KachelX + 1 3624 KachelY + 1 2411 -0.36201947 1.03477660 -20.742188 59.288332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03516818-1.03477660) × R
    0.000391580000000058 × 6371000     		dl = 2494.75618000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03516818-1.03477660) × R
    0.000391580000000058 × 6371000     		dr = 2494.75618000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36278646--0.36201947) × cos(1.03516818) × R
    0.000766989999999967 × 0.510381313791812 × 6371000     		do = 2493.97486518497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36278646--0.36201947) × cos(1.03477660) × R
    0.000766989999999967 × 0.510718013171517 × 6371000     		du = 2495.62014444464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03516818)-sin(1.03477660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510381313791812-0.510718013171517)×R²
    abs(-0.36201947--0.36278646)×0.00033669937970493×R²
    0.000766989999999967×0.00033669937970493×6371000²
    0.000766989999999967×0.00033669937970493×40589641000000     		ar = 6223911.57251744m²