Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36229 / 105241
↖ ↑ ↗
← S 73.042630°
W 80.494080°		 ← 89.08 m → S 73.042630°
W 80.491333°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.043431°
W 80.494080°		 ← 89.08 m →
7 934 m²		 S 73.043431°
W 80.491333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276409149169922 y=0.802928924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276409149169922 × 217)
    floor (0.276409149169922 × 131072)
    floor (36229.5)     		tx = 36229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802928924560547 × 217)
    floor (0.802928924560547 × 131072)
    floor (105241.5)     		ty = 105241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36229 / 105241 ti = "17/36229/105241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36229/105241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36229 ÷ 217
    36229 ÷ 131072     		x = 0.276405334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105241 ÷ 217
    105241 ÷ 131072     		y = 0.802925109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276405334472656 × 2 - 1) × π
    -0.447189331054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40488672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802925109863281 × 2 - 1) × π
    -0.605850219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.90333459941433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40488672} λ = -1.40488672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90333459941433))-π/2
    2×atan(0.149070698437141)-π/2
    2×0.147980971556834-π/2
    0.295961943113669-1.57079632675     		φ = -1.27483438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40488672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.494080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27483438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.042630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36229 KachelY 105241 -1.40488672 -1.27483438 -80.494080 -73.042630
    Oben rechts KachelX + 1 36230 KachelY 105241 -1.40483878 -1.27483438 -80.491333 -73.042630
    Unten links KachelX 36229 KachelY + 1 105242 -1.40488672 -1.27484836 -80.494080 -73.043431
    Unten rechts KachelX + 1 36230 KachelY + 1 105242 -1.40483878 -1.27484836 -80.491333 -73.043431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27483438--1.27484836) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27483438--1.27484836) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40488672--1.40483878) × cos(-1.27483438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291660108219018 × 6371000     		do = 89.0805043812154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40488672--1.40483878) × cos(-1.27484836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29164673601263 × 6371000     		du = 89.0764201651839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27483438)-sin(-1.27484836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291660108219018-0.29164673601263)×R²
    abs(-1.40483878--1.40488672)×1.33722063880293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33722063880293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33722063880293e-05×40589641000000     		ar = 7933.91398658915m²