Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36228 / 104604
↖ ↑ ↗
← S 72.524831°
W 80.496826°		 ← 91.70 m → S 72.524831°
W 80.494080°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 72.525655°
W 80.496826°		 ← 91.69 m →
8 407 m²		 S 72.525655°
W 80.494080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276401519775391 y=0.798069000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276401519775391 × 217)
    floor (0.276401519775391 × 131072)
    floor (36228.5)     		tx = 36228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798069000244141 × 217)
    floor (0.798069000244141 × 131072)
    floor (104604.5)     		ty = 104604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36228 / 104604 ti = "17/36228/104604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36228/104604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36228 ÷ 217
    36228 ÷ 131072     		x = 0.276397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104604 ÷ 217
    104604 ÷ 131072     		y = 0.798065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.44720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40493465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.59613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87279879435635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40493465} λ = -1.40493465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87279879435635))-π/2
    2×atan(0.153692904462073)-π/2
    2×0.152499618902599-π/2
    0.304999237805198-1.57079632675     		φ = -1.26579709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40493465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.496826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26579709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.524831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36228 KachelY 104604 -1.40493465 -1.26579709 -80.496826 -72.524831
    Oben rechts KachelX + 1 36229 KachelY 104604 -1.40488672 -1.26579709 -80.494080 -72.524831
    Unten links KachelX 36228 KachelY + 1 104605 -1.40493465 -1.26581148 -80.496826 -72.525655
    Unten rechts KachelX + 1 36229 KachelY + 1 104605 -1.40488672 -1.26581148 -80.494080 -72.525655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26579709--1.26581148) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26579709--1.26581148) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40493465--1.40488672) × cos(-1.26579709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300292447228312 × 6371000     		do = 91.6979112793614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40493465--1.40488672) × cos(-1.26581148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300278721336276 × 6371000     		du = 91.6937199131057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26579709)-sin(-1.26581148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300292447228312-0.300278721336276)×R²
    abs(-1.40488672--1.40493465)×1.37258920360761e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37258920360761e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37258920360761e-05×40589641000000     		ar = 8406.55225258824m²