Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36227 / 104579
↖ ↑ ↗
← S 72.504200°
W 80.499573°		 ← 91.82 m → S 72.504200°
W 80.496826°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.505026°
W 80.499573°		 ← 91.82 m →
8 430 m²		 S 72.505026°
W 80.496826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276393890380859 y=0.797878265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276393890380859 × 217)
    floor (0.276393890380859 × 131072)
    floor (36227.5)     		tx = 36227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797878265380859 × 217)
    floor (0.797878265380859 × 131072)
    floor (104579.5)     		ty = 104579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36227 / 104579 ti = "17/36227/104579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36227/104579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36227 ÷ 217
    36227 ÷ 131072     		x = 0.276390075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104579 ÷ 217
    104579 ÷ 131072     		y = 0.797874450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276390075683594 × 2 - 1) × π
    -0.447219848632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40498259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797874450683594 × 2 - 1) × π
    -0.595748901367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.87160037186585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40498259} λ = -1.40498259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87160037186585))-π/2
    2×atan(0.153877203907653)-π/2
    2×0.152679660394714-π/2
    0.305359320789428-1.57079632675     		φ = -1.26543701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40498259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.499573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26543701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.504200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36227 KachelY 104579 -1.40498259 -1.26543701 -80.499573 -72.504200
    Oben rechts KachelX + 1 36228 KachelY 104579 -1.40493465 -1.26543701 -80.496826 -72.504200
    Unten links KachelX 36227 KachelY + 1 104580 -1.40498259 -1.26545142 -80.499573 -72.505026
    Unten rechts KachelX + 1 36228 KachelY + 1 104580 -1.40493465 -1.26545142 -80.496826 -72.505026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26543701--1.26545142) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26543701--1.26545142) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40498259--1.40493465) × cos(-1.26543701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300635889046496 × 6371000     		do = 91.8219388825236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40498259--1.40493465) × cos(-1.26545142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300622145636428 × 6371000     		du = 91.8177412913337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26543701)-sin(-1.26545142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300635889046496-0.300622145636428)×R²
    abs(-1.40493465--1.40498259)×1.37434100673794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37434100673794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37434100673794e-05×40589641000000     		ar = 8429.6223393517m²