Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36224 / 105245
↖ ↑ ↗
← S 73.045834°
W 80.507812°		 ← 89.06 m → S 73.045834°
W 80.505066°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.046635°
W 80.507812°		 ← 89.06 m →
7 932 m²		 S 73.046635°
W 80.505066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276371002197266 y=0.802959442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276371002197266 × 217)
    floor (0.276371002197266 × 131072)
    floor (36224.5)     		tx = 36224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802959442138672 × 217)
    floor (0.802959442138672 × 131072)
    floor (105245.5)     		ty = 105245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36224 / 105245 ti = "17/36224/105245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36224/105245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36224 ÷ 217
    36224 ÷ 131072     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105245 ÷ 217
    105245 ÷ 131072     		y = 0.802955627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802955627441406 × 2 - 1) × π
    -0.605911254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.90352634701281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90352634701281))-π/2
    2×atan(0.149042117228988)-π/2
    2×0.147953011558686-π/2
    0.295906023117372-1.57079632675     		φ = -1.27489030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27489030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.045834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36224 KachelY 105245 -1.40512640 -1.27489030 -80.507812 -73.045834
    Oben rechts KachelX + 1 36225 KachelY 105245 -1.40507846 -1.27489030 -80.505066 -73.045834
    Unten links KachelX 36224 KachelY + 1 105246 -1.40512640 -1.27490428 -80.507812 -73.046635
    Unten rechts KachelX + 1 36225 KachelY + 1 105246 -1.40507846 -1.27490428 -80.505066 -73.046635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27489030--1.27490428) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dl = 89.0665799990953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27489030--1.27490428) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dr = 89.0665799990953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.27489030) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.29160661905148 × 6371000     		do = 89.0641674130504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.27490428) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.291593246617109 × 6371000     		du = 89.0600831273872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27489030)-sin(-1.27490428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29160661905148-0.291593246617109)×R²
    abs(-1.40507846--1.40512640)×1.33724343703845e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.33724343703845e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.33724343703845e-05×40589641000000     		ar = 7932.45890557637m²