Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36224 / 105195
↖ ↑ ↗
← S 73.005742°
W 80.507812°		 ← 89.27 m → S 73.005742°
W 80.505066°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.006545°
W 80.507812°		 ← 89.26 m →
7 968 m²		 S 73.006545°
W 80.505066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276371002197266 y=0.802577972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276371002197266 × 217)
    floor (0.276371002197266 × 131072)
    floor (36224.5)     		tx = 36224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802577972412109 × 217)
    floor (0.802577972412109 × 131072)
    floor (105195.5)     		ty = 105195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36224 / 105195 ti = "17/36224/105195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36224/105195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36224 ÷ 217
    36224 ÷ 131072     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105195 ÷ 217
    105195 ÷ 131072     		y = 0.802574157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802574157714844 × 2 - 1) × π
    -0.605148315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.90112950203181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90112950203181))-π/2
    2×atan(0.149399776535358)-π/2
    2×0.148302880370948-π/2
    0.296605760741896-1.57079632675     		φ = -1.27419057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27419057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.005742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36224 KachelY 105195 -1.40512640 -1.27419057 -80.507812 -73.005742
    Oben rechts KachelX + 1 36225 KachelY 105195 -1.40507846 -1.27419057 -80.505066 -73.005742
    Unten links KachelX 36224 KachelY + 1 105196 -1.40512640 -1.27420458 -80.507812 -73.006545
    Unten rechts KachelX + 1 36225 KachelY + 1 105196 -1.40507846 -1.27420458 -80.505066 -73.006545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27419057--1.27420458) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27419057--1.27420458) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.27419057) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292275866175081 × 6371000     		do = 89.26857271102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.27420458) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292262467906336 × 6371000     		du = 89.2644805348738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27419057)-sin(-1.27420458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292275866175081-0.292262467906336)×R²
    abs(-1.40507846--1.40512640)×1.3398268744913e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.3398268744913e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.3398268744913e-05×40589641000000     		ar = 7967.72574602361m²