Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36224 / 104580
↖ ↑ ↗
← S 72.505026°
W 80.507812°		 ← 91.82 m → S 72.505026°
W 80.505066°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.505851°
W 80.507812°		 ← 91.81 m →
8 429 m²		 S 72.505851°
W 80.505066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276371002197266 y=0.797885894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276371002197266 × 217)
    floor (0.276371002197266 × 131072)
    floor (36224.5)     		tx = 36224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797885894775391 × 217)
    floor (0.797885894775391 × 131072)
    floor (104580.5)     		ty = 104580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36224 / 104580 ti = "17/36224/104580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36224/104580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36224 ÷ 217
    36224 ÷ 131072     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104580 ÷ 217
    104580 ÷ 131072     		y = 0.797882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.59576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87164830876547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87164830876547))-π/2
    2×atan(0.153869827688374)-π/2
    2×0.152672454783124-π/2
    0.305344909566249-1.57079632675     		φ = -1.26545142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26545142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.505026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36224 KachelY 104580 -1.40512640 -1.26545142 -80.507812 -72.505026
    Oben rechts KachelX + 1 36225 KachelY 104580 -1.40507846 -1.26545142 -80.505066 -72.505026
    Unten links KachelX 36224 KachelY + 1 104581 -1.40512640 -1.26546583 -80.507812 -72.505851
    Unten rechts KachelX + 1 36225 KachelY + 1 104581 -1.40507846 -1.26546583 -80.505066 -72.505851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26545142--1.26546583) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26545142--1.26546583) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.26545142) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.300622145636428 × 6371000     		do = 91.8177412917589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.26546583) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.300608402163937 × 6371000     		du = 91.8135436815032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26545142)-sin(-1.26546583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300622145636428-0.300608402163937)×R²
    abs(-1.40507846--1.40512640)×1.37434724910568e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.37434724910568e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.37434724910568e-05×40589641000000     		ar = 8429.2369739239m²