Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36224 / 104578
↖ ↑ ↗
← S 72.503374°
W 80.507812°		 ← 91.83 m → S 72.503374°
W 80.505066°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
S 72.504200°
W 80.507812°		 ← 91.82 m →
8 436 m²		 S 72.504200°
W 80.505066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276371002197266 y=0.797870635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276371002197266 × 217)
    floor (0.276371002197266 × 131072)
    floor (36224.5)     		tx = 36224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797870635986328 × 217)
    floor (0.797870635986328 × 131072)
    floor (104578.5)     		ty = 104578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36224 / 104578 ti = "17/36224/104578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36224/104578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36224 ÷ 217
    36224 ÷ 131072     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104578 ÷ 217
    104578 ÷ 131072     		y = 0.797866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797866821289062 × 2 - 1) × π
    -0.595733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87155243496623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87155243496623))-π/2
    2×atan(0.153884580480534)-π/2
    2×0.152686866335747-π/2
    0.305373732671494-1.57079632675     		φ = -1.26542259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26542259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.503374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36224 KachelY 104578 -1.40512640 -1.26542259 -80.507812 -72.503374
    Oben rechts KachelX + 1 36225 KachelY 104578 -1.40507846 -1.26542259 -80.505066 -72.503374
    Unten links KachelX 36224 KachelY + 1 104579 -1.40512640 -1.26543701 -80.507812 -72.504200
    Unten rechts KachelX + 1 36225 KachelY + 1 104579 -1.40507846 -1.26543701 -80.505066 -72.504200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26542259--1.26543701) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dl = 91.8698200004491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26542259--1.26543701) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dr = 91.8698200004491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.26542259) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.300649641931483 × 6371000     		do = 91.8261393680234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40507846) × cos(-1.26543701) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.300635889046496 × 6371000     		du = 91.8219388829489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26542259)-sin(-1.26543701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300649641931483-0.300635889046496)×R²
    abs(-1.40507846--1.40512640)×1.37528849876722e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.37528849876722e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.37528849876722e-05×40589641000000     		ar = 8435.85794640203m²