Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36222 / 105243
↖ ↑ ↗
← S 73.044232°
W 80.513306°		 ← 89.07 m → S 73.044232°
W 80.510559°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.045033°
W 80.513306°		 ← 89.07 m →
7 933 m²		 S 73.045033°
W 80.510559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276355743408203 y=0.802944183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276355743408203 × 217)
    floor (0.276355743408203 × 131072)
    floor (36222.5)     		tx = 36222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802944183349609 × 217)
    floor (0.802944183349609 × 131072)
    floor (105243.5)     		ty = 105243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36222 / 105243 ti = "17/36222/105243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36222/105243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36222 ÷ 217
    36222 ÷ 131072     		x = 0.276351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105243 ÷ 217
    105243 ÷ 131072     		y = 0.802940368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.447296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40522228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802940368652344 × 2 - 1) × π
    -0.605880737304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.90343047321357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40522228} λ = -1.40522228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90343047321357))-π/2
    2×atan(0.149056407148017)-π/2
    2×0.147966990916734-π/2
    0.295933981833468-1.57079632675     		φ = -1.27486234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40522228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.513306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27486234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.044232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36222 KachelY 105243 -1.40522228 -1.27486234 -80.513306 -73.044232
    Oben rechts KachelX + 1 36223 KachelY 105243 -1.40517434 -1.27486234 -80.510559 -73.044232
    Unten links KachelX 36222 KachelY + 1 105244 -1.40522228 -1.27487632 -80.513306 -73.045033
    Unten rechts KachelX + 1 36223 KachelY + 1 105244 -1.40517434 -1.27487632 -80.510559 -73.045033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27486234--1.27487632) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dl = 89.0665799990953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27486234--1.27487632) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dr = 89.0665799990953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40522228--1.40517434) × cos(-1.27486234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291633363749243 × 6371000     		do = 89.0723359317433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40522228--1.40517434) × cos(-1.27487632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291619991428859 × 6371000     		du = 89.0682516808944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27486234)-sin(-1.27487632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291633363749243-0.291619991428859)×R²
    abs(-1.40517434--1.40522228)×1.33723203842862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33723203842862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33723203842862e-05×40589641000000     		ar = 7933.18644898086m²