Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36221 / 39389
↖ ↑ ↗
← S 34.148181°
E 18.967896°		 ← 505.48 m → S 34.148181°
E 18.973389°		 →
↑
505.48 m
↓
↑
505.48 m
↓
S 34.152727°
E 18.967896°		 ← 505.45 m →
255 501 m²		 S 34.152727°
E 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552696228027344 y=0.601036071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552696228027344 × 216)
    floor (0.552696228027344 × 65536)
    floor (36221.5)     		tx = 36221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601036071777344 × 216)
    floor (0.601036071777344 × 65536)
    floor (39389.5)     		ty = 39389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36221 / 39389 ti = "16/36221/39389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36221/39389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36221 ÷ 216
    36221 ÷ 65536     		x = 0.552688598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39389 ÷ 216
    39389 ÷ 65536     		y = 0.601028442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552688598632812 × 2 - 1) × π
    0.105377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33105223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601028442382812 × 2 - 1) × π
    -0.202056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.634780424768784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33105223} λ = 0.33105223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634780424768784))-π/2
    2×atan(0.530051861800845)-π/2
    2×0.487399067199734-π/2
    0.974798134399469-1.57079632675     		φ = -0.59599819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33105223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.967896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59599819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.148181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36221 KachelY 39389 0.33105223 -0.59599819 18.967896 -34.148181
    Oben rechts KachelX + 1 36222 KachelY 39389 0.33114810 -0.59599819 18.973389 -34.148181
    Unten links KachelX 36221 KachelY + 1 39390 0.33105223 -0.59607753 18.967896 -34.152727
    Unten rechts KachelX + 1 36222 KachelY + 1 39390 0.33114810 -0.59607753 18.973389 -34.152727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59599819--0.59607753) × R
    7.93399999999833e-05 × 6371000     		dl = 505.475139999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59599819--0.59607753) × R
    7.93399999999833e-05 × 6371000     		dr = 505.475139999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33105223-0.33114810) × cos(-0.59599819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827588592122226 × 6371000     		do = 505.480990659763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33105223-0.33114810) × cos(-0.59607753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827544053188714 × 6371000     		du = 505.453786823885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59599819)-sin(-0.59607753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827588592122226-0.827544053188714)×R²
    abs(0.33114810-0.33105223)×4.45389335117508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45389335117508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45389335117508e-05×40589641000000     		ar = 255501.199223633m²