Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36220 / 105193
↖ ↑ ↗
← S 73.004136°
W 80.518799°		 ← 89.28 m → S 73.004136°
W 80.516052°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.004939°
W 80.518799°		 ← 89.27 m →
7 968 m²		 S 73.004939°
W 80.516052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276340484619141 y=0.802562713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276340484619141 × 217)
    floor (0.276340484619141 × 131072)
    floor (36220.5)     		tx = 36220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802562713623047 × 217)
    floor (0.802562713623047 × 131072)
    floor (105193.5)     		ty = 105193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36220 / 105193 ti = "17/36220/105193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36220/105193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36220 ÷ 217
    36220 ÷ 131072     		x = 0.276336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105193 ÷ 217
    105193 ÷ 131072     		y = 0.802558898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.44732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40531815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802558898925781 × 2 - 1) × π
    -0.605117797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.90103362823257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40531815} λ = -1.40531815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90103362823257))-π/2
    2×atan(0.149414100746187)-π/2
    2×0.148316891812312-π/2
    0.296633783624624-1.57079632675     		φ = -1.27416254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40531815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27416254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.004136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36220 KachelY 105193 -1.40531815 -1.27416254 -80.518799 -73.004136
    Oben rechts KachelX + 1 36221 KachelY 105193 -1.40527021 -1.27416254 -80.516052 -73.004136
    Unten links KachelX 36220 KachelY + 1 105194 -1.40531815 -1.27417655 -80.518799 -73.004939
    Unten rechts KachelX + 1 36221 KachelY + 1 105194 -1.40527021 -1.27417655 -80.516052 -73.004939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27416254--1.27417655) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dl = 89.2577099993484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27416254--1.27417655) × R
    1.40099999998977e-05 × 6371000     		dr = 89.2577099993484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40531815--1.40527021) × cos(-1.27416254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292302672103723 × 6371000     		do = 89.2767599311984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40531815--1.40527021) × cos(-1.27417655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292289273949758 × 6371000     		du = 89.2726677901089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27416254)-sin(-1.27417655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292302672103723-0.292289273949758)×R²
    abs(-1.40527021--1.40531815)×1.33981539654493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33981539654493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33981539654493e-05×40589641000000     		ar = 7968.45652022655m²