Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3622 / 2631
↖ ↑ ↗
← N 76.480910°
W100.415039°		 ← 571.16 m → N 76.480910°
W100.393066°		 →
↑
571.22 m
↓
↑
571.22 m
↓
N 76.475773°
W100.415039°		 ← 571.38 m →
326 323 m²		 N 76.475773°
W100.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221099853515625 y=0.160614013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221099853515625 × 214)
    floor (0.221099853515625 × 16384)
    floor (3622.5)     		tx = 3622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160614013671875 × 214)
    floor (0.160614013671875 × 16384)
    floor (2631.5)     		ty = 2631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3622 / 2631 ti = "14/3622/2631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3622/2631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3622 ÷ 214
    3622 ÷ 16384     		x = 0.2210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2631 ÷ 214
    2631 ÷ 16384     		y = 0.16058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16058349609375 × 2 - 1) × π
    0.6788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13261679029706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75257305} λ = -1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13261679029706))-π/2
    2×atan(8.43691558919544)-π/2
    2×1.45282001087084-π/2
    2.90564002174168-1.57079632675     		φ = 1.33484369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33484369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.480910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3622 KachelY 2631 -1.75257305 1.33484369 -100.415039 76.480910
    Oben rechts KachelX + 1 3623 KachelY 2631 -1.75218955 1.33484369 -100.393066 76.480910
    Unten links KachelX 3622 KachelY + 1 2632 -1.75257305 1.33475403 -100.415039 76.475773
    Unten rechts KachelX + 1 3623 KachelY + 1 2632 -1.75218955 1.33475403 -100.393066 76.475773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33484369-1.33475403) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dl = 571.223859999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33484369-1.33475403) × R
    8.96599999999914e-05 × 6371000     		dr = 571.223859999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75257305--1.75218955) × cos(1.33484369) × R
    0.000383500000000092 × 0.233769332662946 × 6371000     		do = 571.163584454862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75257305--1.75218955) × cos(1.33475403) × R
    0.000383500000000092 × 0.23385650743157 × 6371000     		du = 571.376576692783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33484369)-sin(1.33475403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233769332662946-0.23385650743157)×R²
    abs(-1.75218955--1.75257305)×8.71747686237989e-05×R²
    0.000383500000000092×8.71747686237989e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.71747686237989e-05×40589641000000     		ar = 326323.100746098m²