Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36214 / 48239
↖ ↑ ↗
← S 64.432521°
E 18.929443°		 ← 263.63 m → S 64.432521°
E 18.934937°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
S 64.434892°
E 18.929443°		 ← 263.60 m →
69 498 m²		 S 64.434892°
E 18.934937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552589416503906 y=0.736076354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552589416503906 × 216)
    floor (0.552589416503906 × 65536)
    floor (36214.5)     		tx = 36214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736076354980469 × 216)
    floor (0.736076354980469 × 65536)
    floor (48239.5)     		ty = 48239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36214 / 48239 ti = "16/36214/48239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36214/48239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36214 ÷ 216
    36214 ÷ 65536     		x = 0.552581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48239 ÷ 216
    48239 ÷ 65536     		y = 0.736068725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552581787109375 × 2 - 1) × π
    0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736068725585938 × 2 - 1) × π
    -0.472137451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48326354804378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33038111} λ = 0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48326354804378))-π/2
    2×atan(0.226895992789102)-π/2
    2×0.223118341162537-π/2
    0.446236682325073-1.57079632675     		φ = -1.12455964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12455964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.432521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36214 KachelY 48239 0.33038111 -1.12455964 18.929443 -64.432521
    Oben rechts KachelX + 1 36215 KachelY 48239 0.33047699 -1.12455964 18.934937 -64.432521
    Unten links KachelX 36214 KachelY + 1 48240 0.33038111 -1.12460102 18.929443 -64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 36215 KachelY + 1 48240 0.33047699 -1.12460102 18.934937 -64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12455964--1.12460102) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dl = 263.631980000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12455964--1.12460102) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dr = 263.631980000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33038111-0.33047699) × cos(-1.12455964) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.43157379753735 × 6371000     		do = 263.627492955043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33038111-0.33047699) × cos(-1.12460102) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 263.604690882107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12455964)-sin(-1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43157379753735-0.431536469195384)×R²
    abs(0.33047699-0.33038111)×3.73283419661252e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.73283419661252e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.73283419661252e-05×40589641000000     		ar = 69497.632282351m²