Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36214 / 105234
↖ ↑ ↗
← S 73.037021°
W 80.535278°		 ← 89.11 m → S 73.037021°
W 80.532532°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.037822°
W 80.535278°		 ← 89.11 m →
7 936 m²		 S 73.037822°
W 80.532532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276294708251953 y=0.802875518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276294708251953 × 217)
    floor (0.276294708251953 × 131072)
    floor (36214.5)     		tx = 36214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802875518798828 × 217)
    floor (0.802875518798828 × 131072)
    floor (105234.5)     		ty = 105234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36214 / 105234 ti = "17/36214/105234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36214/105234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36214 ÷ 217
    36214 ÷ 131072     		x = 0.276290893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105234 ÷ 217
    105234 ÷ 131072     		y = 0.802871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276290893554688 × 2 - 1) × π
    -0.447418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40560577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.605743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90299904111699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40560577} λ = -1.40560577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90299904111699))-π/2
    2×atan(0.149120728740464)-π/2
    2×0.148029913894888-π/2
    0.296059827789775-1.57079632675     		φ = -1.27473650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40560577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.535278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27473650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.037021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36214 KachelY 105234 -1.40560577 -1.27473650 -80.535278 -73.037021
    Oben rechts KachelX + 1 36215 KachelY 105234 -1.40555783 -1.27473650 -80.532532 -73.037021
    Unten links KachelX 36214 KachelY + 1 105235 -1.40560577 -1.27475048 -80.535278 -73.037822
    Unten rechts KachelX + 1 36215 KachelY + 1 105235 -1.40555783 -1.27475048 -80.532532 -73.037822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27473650--1.27475048) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27473650--1.27475048) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40560577--1.40555783) × cos(-1.27473650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291753731197397 × 6371000     		do = 89.1090992486675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40560577--1.40555783) × cos(-1.27475048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29174035939016 × 6371000     		du = 89.1050151545472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27473650)-sin(-1.27475048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291753731197397-0.29174035939016)×R²
    abs(-1.40555783--1.40560577)×1.33718072363731e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33718072363731e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33718072363731e-05×40589641000000     		ar = 7936.46083906576m²