Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36211 / 39345
↖ ↑ ↗
← S 33.947917°
E 18.912964°		 ← 506.68 m → S 33.947917°
E 18.918457°		 →
↑
506.69 m
↓
↑
506.69 m
↓
S 33.952473°
E 18.912964°		 ← 506.65 m →
256 719 m²		 S 33.952473°
E 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552543640136719 y=0.600364685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552543640136719 × 216)
    floor (0.552543640136719 × 65536)
    floor (36211.5)     		tx = 36211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600364685058594 × 216)
    floor (0.600364685058594 × 65536)
    floor (39345.5)     		ty = 39345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36211 / 39345 ti = "16/36211/39345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36211/39345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36211 ÷ 216
    36211 ÷ 65536     		x = 0.552536010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39345 ÷ 216
    39345 ÷ 65536     		y = 0.600357055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552536010742188 × 2 - 1) × π
    0.105072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33009349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.200714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.630561977602219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33009349} λ = 0.33009349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630561977602219))-π/2
    2×atan(0.532292580429112)-π/2
    2×0.489146701370053-π/2
    0.978293402740107-1.57079632675     		φ = -0.59250292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33009349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.912964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59250292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.947917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36211 KachelY 39345 0.33009349 -0.59250292 18.912964 -33.947917
    Oben rechts KachelX + 1 36212 KachelY 39345 0.33018936 -0.59250292 18.918457 -33.947917
    Unten links KachelX 36211 KachelY + 1 39346 0.33009349 -0.59258245 18.912964 -33.952473
    Unten rechts KachelX + 1 36212 KachelY + 1 39346 0.33018936 -0.59258245 18.918457 -33.952473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59250292--0.59258245) × R
    7.95299999999388e-05 × 6371000     		dl = 506.68562999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59250292--0.59258245) × R
    7.95299999999388e-05 × 6371000     		dr = 506.68562999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33009349-0.33018936) × cos(-0.59250292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.829545550664961 × 6371000     		do = 506.676277004062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33009349-0.33018936) × cos(-0.59258245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82950113538343 × 6371000     		du = 506.649148693302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59250292)-sin(-0.59258245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829545550664961-0.82950113538343)×R²
    abs(0.33018936-0.33009349)×4.4415281530763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4415281530763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4415281530763e-05×40589641000000     		ar = 256718.715992555m²