Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36211 / 105238
↖ ↑ ↗
← S 73.040227°
W 80.543518°		 ← 89.09 m → S 73.040227°
W 80.540771°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.041028°
W 80.543518°		 ← 89.09 m →
7 935 m²		 S 73.041028°
W 80.540771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276271820068359 y=0.802906036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276271820068359 × 217)
    floor (0.276271820068359 × 131072)
    floor (36211.5)     		tx = 36211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802906036376953 × 217)
    floor (0.802906036376953 × 131072)
    floor (105238.5)     		ty = 105238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36211 / 105238 ti = "17/36211/105238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36211/105238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36211 ÷ 217
    36211 ÷ 131072     		x = 0.276268005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105238 ÷ 217
    105238 ÷ 131072     		y = 0.802902221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276268005371094 × 2 - 1) × π
    -0.447463989257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40574958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802902221679688 × 2 - 1) × π
    -0.605804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90319078871547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40574958} λ = -1.40574958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90319078871547))-π/2
    2×atan(0.149092137940041)-π/2
    2×0.148001944921066-π/2
    0.296003889842133-1.57079632675     		φ = -1.27479244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40574958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.543518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27479244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.040227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36211 KachelY 105238 -1.40574958 -1.27479244 -80.543518 -73.040227
    Oben rechts KachelX + 1 36212 KachelY 105238 -1.40570164 -1.27479244 -80.540771 -73.040227
    Unten links KachelX 36211 KachelY + 1 105239 -1.40574958 -1.27480642 -80.543518 -73.041028
    Unten rechts KachelX + 1 36212 KachelY + 1 105239 -1.40570164 -1.27480642 -80.540771 -73.041028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27479244--1.27480642) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27479244--1.27480642) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40574958--1.40570164) × cos(-1.27479244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291700224496159 × 6371000     		do = 89.0927569248471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40574958--1.40570164) × cos(-1.27480642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291686852460785 × 6371000     		du = 89.0886727610477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27479244)-sin(-1.27480642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291700224496159-0.291686852460785)×R²
    abs(-1.40570164--1.40574958)×1.33720353737155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33720353737155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33720353737155e-05×40589641000000     		ar = 7935.00528101167m²