Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36209 / 39341
↖ ↑ ↗
← S 33.929687°
E 18.901977°		 ← 506.84 m → S 33.929687°
E 18.907471°		 →
↑
506.81 m
↓
↑
506.81 m
↓
S 33.934245°
E 18.901977°		 ← 506.81 m →
256 865 m²		 S 33.934245°
E 18.907471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552513122558594 y=0.600303649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552513122558594 × 216)
    floor (0.552513122558594 × 65536)
    floor (36209.5)     		tx = 36209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600303649902344 × 216)
    floor (0.600303649902344 × 65536)
    floor (39341.5)     		ty = 39341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36209 / 39341 ti = "16/36209/39341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36209/39341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36209 ÷ 216
    36209 ÷ 65536     		x = 0.552505493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39341 ÷ 216
    39341 ÷ 65536     		y = 0.600296020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552505493164062 × 2 - 1) × π
    0.105010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32990174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.200592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.630178482405258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32990174} λ = 0.32990174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630178482405258))-π/2
    2×atan(0.532496751223842)-π/2
    2×0.489305781767723-π/2
    0.978611563535446-1.57079632675     		φ = -0.59218476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32990174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.901977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59218476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.929687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36209 KachelY 39341 0.32990174 -0.59218476 18.901977 -33.929687
    Oben rechts KachelX + 1 36210 KachelY 39341 0.32999762 -0.59218476 18.907471 -33.929687
    Unten links KachelX 36209 KachelY + 1 39342 0.32990174 -0.59226431 18.901977 -33.934245
    Unten rechts KachelX + 1 36210 KachelY + 1 39342 0.32999762 -0.59226431 18.907471 -33.934245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59218476--0.59226431) × R
    7.95500000000393e-05 × 6371000     		dl = 506.81305000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59218476--0.59226431) × R
    7.95500000000393e-05 × 6371000     		dr = 506.81305000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32990174-0.32999762) × cos(-0.59218476) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829723181646351 × 6371000     		do = 506.837633498943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32990174-0.32999762) × cos(-0.59226431) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829678776191894 × 6371000     		du = 506.810508361369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59218476)-sin(-0.59226431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829723181646351-0.829678776191894)×R²
    abs(0.32999762-0.32990174)×4.44054544563866e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44054544563866e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44054544563866e-05×40589641000000     		ar = 256865.053337321m²