Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36208 / 39408
↖ ↑ ↗
← S 34.234512°
E 18.896484°		 ← 504.96 m → S 34.234512°
E 18.901977°		 →
↑
504.97 m
↓
↑
504.97 m
↓
S 34.239054°
E 18.896484°		 ← 504.94 m →
254 982 m²		 S 34.239054°
E 18.901977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552497863769531 y=0.601325988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552497863769531 × 216)
    floor (0.552497863769531 × 65536)
    floor (36208.5)     		tx = 36208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601325988769531 × 216)
    floor (0.601325988769531 × 65536)
    floor (39408.5)     		ty = 39408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36208 / 39408 ti = "16/36208/39408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36208/39408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36208 ÷ 216
    36208 ÷ 65536     		x = 0.552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39408 ÷ 216
    39408 ÷ 65536     		y = 0.601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552490234375 × 2 - 1) × π
    0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.20263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.636602026954346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32980587} λ = 0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636602026954346))-π/2
    2×atan(0.529087197055381)-π/2
    2×0.486645684135942-π/2
    0.973291368271883-1.57079632675     		φ = -0.59750496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59750496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.234512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36208 KachelY 39408 0.32980587 -0.59750496 18.896484 -34.234512
    Oben rechts KachelX + 1 36209 KachelY 39408 0.32990174 -0.59750496 18.901977 -34.234512
    Unten links KachelX 36208 KachelY + 1 39409 0.32980587 -0.59758422 18.896484 -34.239054
    Unten rechts KachelX + 1 36209 KachelY + 1 39409 0.32990174 -0.59758422 18.901977 -34.239054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59750496--0.59758422) × R
    7.92600000000254e-05 × 6371000     		dl = 504.965460000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59750496--0.59758422) × R
    7.92600000000254e-05 × 6371000     		dr = 504.965460000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32980587-0.32990174) × cos(-0.59750496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826741850056355 × 6371000     		do = 504.963810961584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32980587-0.32990174) × cos(-0.59758422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.826697257252023 × 6371000     		du = 504.936574222068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59750496)-sin(-0.59758422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826741850056355-0.826697257252023)×R²
    abs(0.32990174-0.32980587)×4.45928043324439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45928043324439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45928043324439e-05×40589641000000     		ar = 254982.406412666m²