Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36204 / 39332
↖ ↑ ↗
← S 33.888657°
E 18.874511°		 ← 507.08 m → S 33.888657°
E 18.880005°		 →
↑
507.07 m
↓
↑
507.07 m
↓
S 33.893218°
E 18.874511°		 ← 507.05 m →
257 118 m²		 S 33.893218°
E 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552436828613281 y=0.600166320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552436828613281 × 216)
    floor (0.552436828613281 × 65536)
    floor (36204.5)     		tx = 36204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600166320800781 × 216)
    floor (0.600166320800781 × 65536)
    floor (39332.5)     		ty = 39332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36204 / 39332 ti = "16/36204/39332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36204/39332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36204 ÷ 216
    36204 ÷ 65536     		x = 0.55242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39332 ÷ 216
    39332 ÷ 65536     		y = 0.60015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55242919921875 × 2 - 1) × π
    0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.2003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.629315618212097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32942237} λ = 0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629315618212097))-π/2
    2×atan(0.532956421891608)-π/2
    2×0.489663837166252-π/2
    0.979327674332503-1.57079632675     		φ = -0.59146865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59146865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.888657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36204 KachelY 39332 0.32942237 -0.59146865 18.874511 -33.888657
    Oben rechts KachelX + 1 36205 KachelY 39332 0.32951825 -0.59146865 18.880005 -33.888657
    Unten links KachelX 36204 KachelY + 1 39333 0.32942237 -0.59154824 18.874511 -33.893218
    Unten rechts KachelX + 1 36205 KachelY + 1 39333 0.32951825 -0.59154824 18.880005 -33.893218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59146865--0.59154824) × R
    7.95899999999072e-05 × 6371000     		dl = 507.067889999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59146865--0.59154824) × R
    7.95899999999072e-05 × 6371000     		dr = 507.067889999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32942237-0.32951825) × cos(-0.59146865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83012268363615 × 6371000     		do = 507.081669880675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32942237-0.32951825) × cos(-0.59154824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.830078303152405 × 6371000     		du = 507.054559996496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59146865)-sin(-0.59154824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83012268363615-0.830078303152405)×R²
    abs(0.32951825-0.32942237)×4.43804837451101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43804837451101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43804837451101e-05×40589641000000     		ar = 257117.95926375m²