Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36201 / 105210
↖ ↑ ↗
← S 73.017779°
W 80.570984°		 ← 89.21 m → S 73.017779°
W 80.568237°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 73.018581°
W 80.570984°		 ← 89.20 m →
7 957 m²		 S 73.018581°
W 80.568237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276195526123047 y=0.802692413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276195526123047 × 217)
    floor (0.276195526123047 × 131072)
    floor (36201.5)     		tx = 36201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802692413330078 × 217)
    floor (0.802692413330078 × 131072)
    floor (105210.5)     		ty = 105210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36201 / 105210 ti = "17/36201/105210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36201/105210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36201 ÷ 217
    36201 ÷ 131072     		x = 0.276191711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105210 ÷ 217
    105210 ÷ 131072     		y = 0.802688598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276191711425781 × 2 - 1) × π
    -0.447616577148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40622895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802688598632812 × 2 - 1) × π
    -0.605377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90184855552611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40622895} λ = -1.40622895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90184855552611))-π/2
    2×atan(0.149292388717412)-π/2
    2×0.1481978355004-π/2
    0.296395671000801-1.57079632675     		φ = -1.27440066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40622895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.570984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27440066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.017779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36201 KachelY 105210 -1.40622895 -1.27440066 -80.570984 -73.017779
    Oben rechts KachelX + 1 36202 KachelY 105210 -1.40618101 -1.27440066 -80.568237 -73.017779
    Unten links KachelX 36201 KachelY + 1 105211 -1.40622895 -1.27441466 -80.570984 -73.018581
    Unten rechts KachelX + 1 36202 KachelY + 1 105211 -1.40618101 -1.27441466 -80.568237 -73.018581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27440066--1.27441466) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dl = 89.1939999997355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27440066--1.27441466) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dr = 89.1939999997355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40622895--1.40618101) × cos(-1.27440066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292074943505472 × 6371000     		do = 89.2072057555585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40622895--1.40618101) × cos(-1.27441466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292061553940764 × 6371000     		du = 89.2031162378494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27440066)-sin(-1.27441466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292074943505472-0.292061553940764)×R²
    abs(-1.40618101--1.40622895)×1.33895647076443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33895647076443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33895647076443e-05×40589641000000     		ar = 7956.56513010133m²