Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3620 / 5286
↖ ↑ ↗
← S 46.255847°
W 20.917969°		 ← 3 378.71 m → S 46.255847°
W 20.874024°		 →
↑
3 377.78 m
↓
↑
3 377.78 m
↓
S 46.286224°
W 20.917969°		 ← 3 376.84 m →
11 409 379 m²		 S 46.286224°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44195556640625 y=0.64532470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44195556640625 × 213)
    floor (0.44195556640625 × 8192)
    floor (3620.5)     		tx = 3620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64532470703125 × 213)
    floor (0.64532470703125 × 8192)
    floor (5286.5)     		ty = 5286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3620 / 5286 ti = "13/3620/5286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3620/5286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3620 ÷ 213
    3620 ÷ 8192     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5286 ÷ 213
    5286 ÷ 8192     		y = 0.645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.29052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912718568765869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912718568765869))-π/2
    2×atan(0.401431420354688)-π/2
    2×0.381739750766154-π/2
    0.763479501532309-1.57079632675     		φ = -0.80731683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80731683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.255847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3620 KachelY 5286 -0.36508743 -0.80731683 -20.917969 -46.255847
    Oben rechts KachelX + 1 3621 KachelY 5286 -0.36432044 -0.80731683 -20.874024 -46.255847
    Unten links KachelX 3620 KachelY + 1 5287 -0.36508743 -0.80784701 -20.917969 -46.286224
    Unten rechts KachelX + 1 3621 KachelY + 1 5287 -0.36432044 -0.80784701 -20.874024 -46.286224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80731683--0.80784701) × R
    0.000530180000000047 × 6371000     		dl = 3377.7767800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80731683--0.80784701) × R
    0.000530180000000047 × 6371000     		dr = 3377.7767800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36432044) × cos(-0.80731683) × R
    0.000766989999999967 × 0.691439334251083 × 6371000     		do = 3378.71366725984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36432044) × cos(-0.80784701) × R
    0.000766989999999967 × 0.691056216752417 × 6371000     		du = 3376.84156617333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80731683)-sin(-0.80784701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691439334251083-0.691056216752417)×R²
    abs(-0.36432044--0.36508743)×0.000383117498665819×R²
    0.000766989999999967×0.000383117498665819×6371000²
    0.000766989999999967×0.000383117498665819×40589641000000     		ar = 11409379.0690052m²