Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36199 / 103260
↖ ↑ ↗
← S 71.381635°
W 80.576477°		 ← 97.49 m → S 71.381635°
W 80.573731°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 71.382512°
W 80.576477°		 ← 97.49 m →
9 509 m²		 S 71.382512°
W 80.573731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276180267333984 y=0.787815093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276180267333984 × 217)
    floor (0.276180267333984 × 131072)
    floor (36199.5)     		tx = 36199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787815093994141 × 217)
    floor (0.787815093994141 × 131072)
    floor (103260.5)     		ty = 103260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36199 / 103260 ti = "17/36199/103260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36199/103260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36199 ÷ 217
    36199 ÷ 131072     		x = 0.276176452636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103260 ÷ 217
    103260 ÷ 131072     		y = 0.787811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276176452636719 × 2 - 1) × π
    -0.447647094726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40632482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.57562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.808371601267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40632482} λ = -1.40632482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.808371601267))-π/2
    2×atan(0.163920848088948)-π/2
    2×0.162475886403662-π/2
    0.324951772807324-1.57079632675     		φ = -1.24584455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40632482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.576477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24584455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.381635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36199 KachelY 103260 -1.40632482 -1.24584455 -80.576477 -71.381635
    Oben rechts KachelX + 1 36200 KachelY 103260 -1.40627689 -1.24584455 -80.573731 -71.381635
    Unten links KachelX 36199 KachelY + 1 103261 -1.40632482 -1.24585986 -80.576477 -71.382512
    Unten rechts KachelX + 1 36200 KachelY + 1 103261 -1.40627689 -1.24585986 -80.573731 -71.382512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24584455--1.24585986) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24584455--1.24585986) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40632482--1.40627689) × cos(-1.24584455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3192630867304 × 6371000     		do = 97.4908242681206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40632482--1.40627689) × cos(-1.24585986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319248577924634 × 6371000     		du = 97.4863938297391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24584455)-sin(-1.24585986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3192630867304-0.319248577924634)×R²
    abs(-1.40627689--1.40632482)×1.45088057658116e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45088057658116e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45088057658116e-05×40589641000000     		ar = 9509.0399018134m²