Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36198 / 103261
↖ ↑ ↗
← S 71.382512°
W 80.579224°		 ← 97.51 m → S 71.382512°
W 80.576477°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
S 71.383388°
W 80.579224°		 ← 97.50 m →
9 504 m²		 S 71.383388°
W 80.576477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276172637939453 y=0.787822723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276172637939453 × 217)
    floor (0.276172637939453 × 131072)
    floor (36198.5)     		tx = 36198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787822723388672 × 217)
    floor (0.787822723388672 × 131072)
    floor (103261.5)     		ty = 103261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36198 / 103261 ti = "17/36198/103261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36198/103261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36198 ÷ 217
    36198 ÷ 131072     		x = 0.276168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103261 ÷ 217
    103261 ÷ 131072     		y = 0.787818908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.447662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40637276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787818908691406 × 2 - 1) × π
    -0.575637817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80841953816662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40637276} λ = -1.40637276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80841953816662))-π/2
    2×atan(0.163912990420045)-π/2
    2×0.162468234336294-π/2
    0.324936468672587-1.57079632675     		φ = -1.24585986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40637276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.579224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24585986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.382512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36198 KachelY 103261 -1.40637276 -1.24585986 -80.579224 -71.382512
    Oben rechts KachelX + 1 36199 KachelY 103261 -1.40632482 -1.24585986 -80.576477 -71.382512
    Unten links KachelX 36198 KachelY + 1 103262 -1.40637276 -1.24587516 -80.579224 -71.383388
    Unten rechts KachelX + 1 36199 KachelY + 1 103262 -1.40632482 -1.24587516 -80.576477 -71.383388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24585986--1.24587516) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24585986--1.24587516) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40637276--1.40632482) × cos(-1.24585986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319248577924634 × 6371000     		do = 97.5067331565151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40637276--1.40632482) × cos(-1.24587516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319234078520796 × 6371000     		du = 97.5023046653684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24585986)-sin(-1.24587516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319248577924634-0.319234078520796)×R²
    abs(-1.40632482--1.40637276)×1.44994038374646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44994038374646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44994038374646e-05×40589641000000     		ar = 9504.37973675157m²