Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3619 / 5430
↖ ↑ ↗
← S 50.457504°
W 20.961914°		 ← 3 110.99 m → S 50.457504°
W 20.917969°		 →
↑
3 110.07 m
↓
↑
3 110.07 m
↓
S 50.485474°
W 20.961914°		 ← 3 109.15 m →
9 672 520 m²		 S 50.485474°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44183349609375 y=0.66290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44183349609375 × 213)
    floor (0.44183349609375 × 8192)
    floor (3619.5)     		tx = 3619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66290283203125 × 213)
    floor (0.66290283203125 × 8192)
    floor (5430.5)     		ty = 5430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3619 / 5430 ti = "13/3619/5430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3619/5430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3619 ÷ 213
    3619 ÷ 8192     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5430 ÷ 213
    5430 ÷ 8192     		y = 0.662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.32568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02316518549048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02316518549048))-π/2
    2×atan(0.359455394688288)-π/2
    2×0.34507337465945-π/2
    0.6901467493189-1.57079632675     		φ = -0.88064958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88064958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.457504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3619 KachelY 5430 -0.36585442 -0.88064958 -20.961914 -50.457504
    Oben rechts KachelX + 1 3620 KachelY 5430 -0.36508743 -0.88064958 -20.917969 -50.457504
    Unten links KachelX 3619 KachelY + 1 5431 -0.36585442 -0.88113774 -20.961914 -50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 3620 KachelY + 1 5431 -0.36508743 -0.88113774 -20.917969 -50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88064958--0.88113774) × R
    0.00048815999999996 × 6371000     		dl = 3110.06735999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88064958--0.88113774) × R
    0.00048815999999996 × 6371000     		dr = 3110.06735999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36508743) × cos(-0.88064958) × R
    0.000766990000000023 × 0.636650353248546 × 6371000     		do = 3110.98767922524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36508743) × cos(-0.88113774) × R
    0.000766990000000023 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 3109.14780849544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88064958)-sin(-0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636650353248546-0.636273831554846)×R²
    abs(-0.36508743--0.36585442)×0.000376521693699505×R²
    0.000766990000000023×0.000376521693699505×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376521693699505×40589641000000     		ar = 9672520.36964747m²