Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36188 / 39371
↖ ↑ ↗
← S 34.066312°
E 18.786621°		 ← 506.02 m → S 34.066312°
E 18.792114°		 →
↑
505.98 m
↓
↑
505.98 m
↓
S 34.070863°
E 18.786621°		 ← 506 m →
256 033 m²		 S 34.070863°
E 18.792114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552192687988281 y=0.600761413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552192687988281 × 216)
    floor (0.552192687988281 × 65536)
    floor (36188.5)     		tx = 36188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600761413574219 × 216)
    floor (0.600761413574219 × 65536)
    floor (39371.5)     		ty = 39371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36188 / 39371 ti = "16/36188/39371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36188/39371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36188 ÷ 216
    36188 ÷ 65536     		x = 0.55218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39371 ÷ 216
    39371 ÷ 65536     		y = 0.600753784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55218505859375 × 2 - 1) × π
    0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600753784179688 × 2 - 1) × π
    -0.201507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.633054696382462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32788839} λ = 0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633054696382462))-π/2
    2×atan(0.530967377083122)-π/2
    2×0.488113509506982-π/2
    0.976227019013965-1.57079632675     		φ = -0.59456931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59456931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.066312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36188 KachelY 39371 0.32788839 -0.59456931 18.786621 -34.066312
    Oben rechts KachelX + 1 36189 KachelY 39371 0.32798427 -0.59456931 18.792114 -34.066312
    Unten links KachelX 36188 KachelY + 1 39372 0.32788839 -0.59464873 18.786621 -34.070863
    Unten rechts KachelX + 1 36189 KachelY + 1 39372 0.32798427 -0.59464873 18.792114 -34.070863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59456931--0.59464873) × R
    7.94199999999412e-05 × 6371000     		dl = 505.984819999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59456931--0.59464873) × R
    7.94199999999412e-05 × 6371000     		dr = 505.984819999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32788839-0.32798427) × cos(-0.59456931) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.828389827539366 × 6371000     		do = 506.02315216962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32788839-0.32798427) × cos(-0.59464873) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.828345337652859 × 6371000     		du = 505.995975456603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59456931)-sin(-0.59464873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828389827539366-0.828345337652859)×R²
    abs(0.32798427-0.32788839)×4.44898865066268e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.44898865066268e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.44898865066268e-05×40589641000000     		ar = 256033.15819872m²