Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36184 / 37949
↖ ↑ ↗
← S 27.357132°
E 18.764649°		 ← 542.48 m → S 27.357132°
E 18.770141°		 →
↑
542.49 m
↓
↑
542.49 m
↓
S 27.362010°
E 18.764649°		 ← 542.45 m →
294 282 m²		 S 27.362010°
E 18.770141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552131652832031 y=0.579063415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552131652832031 × 216)
    floor (0.552131652832031 × 65536)
    floor (36184.5)     		tx = 36184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579063415527344 × 216)
    floor (0.579063415527344 × 65536)
    floor (37949.5)     		ty = 37949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36184 / 37949 ti = "16/36184/37949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36184/37949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36184 ÷ 216
    36184 ÷ 65536     		x = 0.5521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37949 ÷ 216
    37949 ÷ 65536     		y = 0.579055786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579055786132812 × 2 - 1) × π
    -0.158111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.496722153863022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32750490} λ = 0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496722153863022))-π/2
    2×atan(0.608522035821784)-π/2
    2×0.546662151051575-π/2
    1.09332430210315-1.57079632675     		φ = -0.47747202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47747202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.357132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36184 KachelY 37949 0.32750490 -0.47747202 18.764649 -27.357132
    Oben rechts KachelX + 1 36185 KachelY 37949 0.32760077 -0.47747202 18.770141 -27.357132
    Unten links KachelX 36184 KachelY + 1 37950 0.32750490 -0.47755717 18.764649 -27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 36185 KachelY + 1 37950 0.32760077 -0.47755717 18.770141 -27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47747202--0.47755717) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dl = 542.490649999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47747202--0.47755717) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dr = 542.490649999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32750490-0.32760077) × cos(-0.47747202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888159455805965 × 6371000     		do = 542.476933416127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32750490-0.32760077) × cos(-0.47755717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 542.453031666716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47747202)-sin(-0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888159455805965-0.888120323147151)×R²
    abs(0.32760077-0.32750490)×3.91326588141672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91326588141672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91326588141672e-05×40589641000000     		ar = 294282.18115891m²