Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36182 / 39362
↖ ↑ ↗
← S 34.025348°
E 18.753662°		 ← 506.21 m → S 34.025348°
E 18.759155°		 →
↑
506.18 m
↓
↑
506.18 m
↓
S 34.029900°
E 18.753662°		 ← 506.19 m →
256 227 m²		 S 34.029900°
E 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552101135253906 y=0.600624084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552101135253906 × 216)
    floor (0.552101135253906 × 65536)
    floor (36182.5)     		tx = 36182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600624084472656 × 216)
    floor (0.600624084472656 × 65536)
    floor (39362.5)     		ty = 39362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36182 / 39362 ti = "16/36182/39362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36182/39362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36182 ÷ 216
    36182 ÷ 65536     		x = 0.552093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39362 ÷ 216
    39362 ÷ 65536     		y = 0.600616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.20123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.632191832189301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32731315} λ = 0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632191832189301))-π/2
    2×atan(0.531425727539204)-π/2
    2×0.488470989821593-π/2
    0.976941979643185-1.57079632675     		φ = -0.59385435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59385435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.025348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36182 KachelY 39362 0.32731315 -0.59385435 18.753662 -34.025348
    Oben rechts KachelX + 1 36183 KachelY 39362 0.32740902 -0.59385435 18.759155 -34.025348
    Unten links KachelX 36182 KachelY + 1 39363 0.32731315 -0.59393380 18.753662 -34.029900
    Unten rechts KachelX + 1 36183 KachelY + 1 39363 0.32740902 -0.59393380 18.759155 -34.029900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59385435--0.59393380) × R
    7.94499999999809e-05 × 6371000     		dl = 506.175949999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59385435--0.59393380) × R
    7.94499999999809e-05 × 6371000     		dr = 506.175949999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32731315-0.32740902) × cos(-0.59385435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.828790102075553 × 6371000     		do = 506.214858244788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32731315-0.32740902) × cos(-0.59393380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.828745642448119 × 6371000     		du = 506.187702848093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59385435)-sin(-0.59393380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828790102075553-0.828745642448119)×R²
    abs(0.32740902-0.32731315)×4.44596274332687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44596274332687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44596274332687e-05×40589641000000     		ar = 256226.914206844m²