Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36182 / 39360
↖ ↑ ↗
← S 34.016242°
E 18.753662°		 ← 506.27 m → S 34.016242°
E 18.759155°		 →
↑
506.30 m
↓
↑
506.30 m
↓
S 34.020795°
E 18.753662°		 ← 506.24 m →
256 319 m²		 S 34.020795°
E 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552101135253906 y=0.600593566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552101135253906 × 216)
    floor (0.552101135253906 × 65536)
    floor (36182.5)     		tx = 36182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600593566894531 × 216)
    floor (0.600593566894531 × 65536)
    floor (39360.5)     		ty = 39360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36182 / 39360 ti = "16/36182/39360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36182/39360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36182 ÷ 216
    36182 ÷ 65536     		x = 0.552093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39360 ÷ 216
    39360 ÷ 65536     		y = 0.6005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    -0.201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63200008459082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32731315} λ = 0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63200008459082))-π/2
    2×atan(0.531527636916357)-π/2
    2×0.488550453340181-π/2
    0.977100906680362-1.57079632675     		φ = -0.59369542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59369542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.016242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36182 KachelY 39360 0.32731315 -0.59369542 18.753662 -34.016242
    Oben rechts KachelX + 1 36183 KachelY 39360 0.32740902 -0.59369542 18.759155 -34.016242
    Unten links KachelX 36182 KachelY + 1 39361 0.32731315 -0.59377489 18.753662 -34.020795
    Unten rechts KachelX + 1 36183 KachelY + 1 39361 0.32740902 -0.59377489 18.759155 -34.020795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59369542--0.59377489) × R
    7.94700000000814e-05 × 6371000     		dl = 506.303370000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59369542--0.59377489) × R
    7.94700000000814e-05 × 6371000     		dr = 506.303370000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32731315-0.32740902) × cos(-0.59369542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.828879022418254 × 6371000     		do = 506.269169702614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32731315-0.32740902) × cos(-0.59377489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82883456206635 × 6371000     		du = 506.242013863421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59369542)-sin(-0.59377489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828879022418254-0.82883456206635)×R²
    abs(0.32740902-0.32731315)×4.44603519045295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44603519045295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44603519045295e-05×40589641000000     		ar = 256318.912336041m²