Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36181 / 37943
↖ ↑ ↗
← S 27.327855°
E 18.748169°		 ← 542.62 m → S 27.327855°
E 18.753662°		 →
↑
542.62 m
↓
↑
542.62 m
↓
S 27.332735°
E 18.748169°		 ← 542.60 m →
294 429 m²		 S 27.332735°
E 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552085876464844 y=0.578971862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552085876464844 × 216)
    floor (0.552085876464844 × 65536)
    floor (36181.5)     		tx = 36181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578971862792969 × 216)
    floor (0.578971862792969 × 65536)
    floor (37943.5)     		ty = 37943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36181 / 37943 ti = "16/36181/37943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36181/37943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36181 ÷ 216
    36181 ÷ 65536     		x = 0.552078247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37943 ÷ 216
    37943 ÷ 65536     		y = 0.578964233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552078247070312 × 2 - 1) × π
    0.104156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32721728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578964233398438 × 2 - 1) × π
    -0.157928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.496146911067581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32721728} λ = 0.32721728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496146911067581))-π/2
    2×atan(0.608872184439337)-π/2
    2×0.546917638470767-π/2
    1.09383527694153-1.57079632675     		φ = -0.47696105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32721728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.748169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47696105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.327855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36181 KachelY 37943 0.32721728 -0.47696105 18.748169 -27.327855
    Oben rechts KachelX + 1 36182 KachelY 37943 0.32731315 -0.47696105 18.753662 -27.327855
    Unten links KachelX 36181 KachelY + 1 37944 0.32721728 -0.47704622 18.748169 -27.332735
    Unten rechts KachelX + 1 36182 KachelY + 1 37944 0.32731315 -0.47704622 18.753662 -27.332735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47696105--0.47704622) × R
    8.51700000000233e-05 × 6371000     		dl = 542.618070000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47696105--0.47704622) × R
    8.51700000000233e-05 × 6371000     		dr = 542.618070000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32721728-0.32731315) × cos(-0.47696105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888394148652609 × 6371000     		do = 542.620280936564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32721728-0.32731315) × cos(-0.47704622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888355045457921 × 6371000     		du = 542.596397183481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47696105)-sin(-0.47704622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888394148652609-0.888355045457921)×R²
    abs(0.32731315-0.32721728)×3.91031946873621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91031946873621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91031946873621e-05×40589641000000     		ar = 294429.089884759m²