Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36181 / 103236
↖ ↑ ↗
← S 71.360578°
W 80.625916°		 ← 97.62 m → S 71.360578°
W 80.623169°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.361456°
W 80.625916°		 ← 97.61 m →
9 528 m²		 S 71.361456°
W 80.623169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276042938232422 y=0.787631988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276042938232422 × 217)
    floor (0.276042938232422 × 131072)
    floor (36181.5)     		tx = 36181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787631988525391 × 217)
    floor (0.787631988525391 × 131072)
    floor (103236.5)     		ty = 103236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36181 / 103236 ti = "17/36181/103236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36181/103236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36181 ÷ 217
    36181 ÷ 131072     		x = 0.276039123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103236 ÷ 217
    103236 ÷ 131072     		y = 0.787628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276039123535156 × 2 - 1) × π
    -0.447921752929688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40718769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.57525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80722111567612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40718769} λ = -1.40718769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80722111567612))-π/2
    2×atan(0.164109545188553)-π/2
    2×0.162659640340919-π/2
    0.325319280681838-1.57079632675     		φ = -1.24547705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40718769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.625916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24547705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.360578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36181 KachelY 103236 -1.40718769 -1.24547705 -80.625916 -71.360578
    Oben rechts KachelX + 1 36182 KachelY 103236 -1.40713975 -1.24547705 -80.623169 -71.360578
    Unten links KachelX 36181 KachelY + 1 103237 -1.40718769 -1.24549237 -80.625916 -71.361456
    Unten rechts KachelX + 1 36182 KachelY + 1 103237 -1.40713975 -1.24549237 -80.623169 -71.361456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24547705--1.24549237) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24547705--1.24549237) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40718769--1.40713975) × cos(-1.24547705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319611332463675 × 6371000     		do = 97.6175277300398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40718769--1.40713975) × cos(-1.24549237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319596815979621 × 6371000     		du = 97.6130940221557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24547705)-sin(-1.24549237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319611332463675-0.319596815979621)×R²
    abs(-1.40713975--1.40718769)×1.45164840532619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45164840532619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45164840532619e-05×40589641000000     		ar = 9527.61747079922m²