Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36180 / 37944
↖ ↑ ↗
← S 27.332735°
E 18.742676°		 ← 542.65 m → S 27.332735°
E 18.748169°		 →
↑
542.62 m
↓
↑
542.62 m
↓
S 27.337615°
E 18.742676°		 ← 542.63 m →
294 447 m²		 S 27.337615°
E 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552070617675781 y=0.578987121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552070617675781 × 216)
    floor (0.552070617675781 × 65536)
    floor (36180.5)     		tx = 36180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578987121582031 × 216)
    floor (0.578987121582031 × 65536)
    floor (37944.5)     		ty = 37944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36180 / 37944 ti = "16/36180/37944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36180/37944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36180 ÷ 216
    36180 ÷ 65536     		x = 0.55206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37944 ÷ 216
    37944 ÷ 65536     		y = 0.5789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55206298828125 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.496242784866821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32712140} λ = 0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496242784866821))-π/2
    2×atan(0.608813812347984)-π/2
    2×0.546875052546881-π/2
    1.09375010509376-1.57079632675     		φ = -0.47704622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47704622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.332735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36180 KachelY 37944 0.32712140 -0.47704622 18.742676 -27.332735
    Oben rechts KachelX + 1 36181 KachelY 37944 0.32721728 -0.47704622 18.748169 -27.332735
    Unten links KachelX 36180 KachelY + 1 37945 0.32712140 -0.47713139 18.742676 -27.337615
    Unten rechts KachelX + 1 36181 KachelY + 1 37945 0.32721728 -0.47713139 18.748169 -27.337615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47704622--0.47713139) × R
    8.51699999999678e-05 × 6371000     		dl = 542.618069999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47704622--0.47713139) × R
    8.51699999999678e-05 × 6371000     		dr = 542.618069999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32712140-0.32721728) × cos(-0.47704622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888355045457921 × 6371000     		do = 542.652994283397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32712140-0.32721728) × cos(-0.47713139) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88831593581917 × 6371000     		du = 542.629104102683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47704622)-sin(-0.47713139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888355045457921-0.88831593581917)×R²
    abs(0.32721728-0.32712140)×3.91096387516443e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91096387516443e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91096387516443e-05×40589641000000     		ar = 294446.83899386m²