Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36180 / 103235
↖ ↑ ↗
← S 71.359700°
W 80.628662°		 ← 97.62 m → S 71.359700°
W 80.625916°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.360578°
W 80.628662°		 ← 97.62 m →
9 534 m²		 S 71.360578°
W 80.625916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276035308837891 y=0.787624359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276035308837891 × 217)
    floor (0.276035308837891 × 131072)
    floor (36180.5)     		tx = 36180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787624359130859 × 217)
    floor (0.787624359130859 × 131072)
    floor (103235.5)     		ty = 103235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36180 / 103235 ti = "17/36180/103235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36180/103235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36180 ÷ 217
    36180 ÷ 131072     		x = 0.276031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103235 ÷ 217
    103235 ÷ 131072     		y = 0.787620544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.44793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40723563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787620544433594 × 2 - 1) × π
    -0.575241088867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.8071731787765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40723563} λ = -1.40723563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8071731787765))-π/2
    2×atan(0.164117412279908)-π/2
    2×0.162667301103172-π/2
    0.325334602206345-1.57079632675     		φ = -1.24546172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40723563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.628662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24546172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.359700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36180 KachelY 103235 -1.40723563 -1.24546172 -80.628662 -71.359700
    Oben rechts KachelX + 1 36181 KachelY 103235 -1.40718769 -1.24546172 -80.625916 -71.359700
    Unten links KachelX 36180 KachelY + 1 103236 -1.40723563 -1.24547705 -80.628662 -71.360578
    Unten rechts KachelX + 1 36181 KachelY + 1 103236 -1.40718769 -1.24547705 -80.625916 -71.360578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24546172--1.24547705) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24546172--1.24547705) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40723563--1.40718769) × cos(-1.24546172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319625858348153 × 6371000     		do = 97.6219643090557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40723563--1.40718769) × cos(-1.24547705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319611332463675 × 6371000     		du = 97.6175277300398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24546172)-sin(-1.24547705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319625858348153-0.319611332463675)×R²
    abs(-1.40718769--1.40723563)×1.45258844782004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45258844782004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45258844782004e-05×40589641000000     		ar = 9534.26971105642m²