Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3618 / 2529
↖ ↑ ↗
← N 76.994992°
W100.502930°		 ← 549.81 m → N 76.994992°
W100.480957°		 →
↑
549.94 m
↓
↑
549.94 m
↓
N 76.990046°
W100.502930°		 ← 550.02 m →
302 423 m²		 N 76.990046°
W100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220855712890625 y=0.154388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220855712890625 × 214)
    floor (0.220855712890625 × 16384)
    floor (3618.5)     		tx = 3618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154388427734375 × 214)
    floor (0.154388427734375 × 16384)
    floor (2529.5)     		ty = 2529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3618 / 2529 ti = "14/3618/2529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3618/2529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3618 ÷ 214
    3618 ÷ 16384     		x = 0.2208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2529 ÷ 214
    2529 ÷ 16384     		y = 0.15435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15435791015625 × 2 - 1) × π
    0.6912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17173330038702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75410703} λ = -1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17173330038702))-π/2
    2×atan(8.7734779418517)-π/2
    2×1.4573062171112-π/2
    2.9146124342224-1.57079632675     		φ = 1.34381611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34381611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.994992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3618 KachelY 2529 -1.75410703 1.34381611 -100.502930 76.994992
    Oben rechts KachelX + 1 3619 KachelY 2529 -1.75372354 1.34381611 -100.480957 76.994992
    Unten links KachelX 3618 KachelY + 1 2530 -1.75410703 1.34372979 -100.502930 76.990046
    Unten rechts KachelX + 1 3619 KachelY + 1 2530 -1.75372354 1.34372979 -100.480957 76.990046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34381611-1.34372979) × R
    8.63199999998621e-05 × 6371000     		dl = 549.944719999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34381611-1.34372979) × R
    8.63199999998621e-05 × 6371000     		dr = 549.944719999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75410703--1.75372354) × cos(1.34381611) × R
    0.000383489999999931 × 0.225036227103871 × 6371000     		do = 549.811838345877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75410703--1.75372354) × cos(1.34372979) × R
    0.000383489999999931 × 0.225120332191662 × 6371000     		du = 550.017325140284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34381611)-sin(1.34372979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225036227103871-0.225120332191662)×R²
    abs(-1.75372354--1.75410703)×8.41050877917748e-05×R²
    0.000383489999999931×8.41050877917748e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.41050877917748e-05×40589641000000     		ar = 302422.620866538m²