Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36179 / 48278
↖ ↑ ↗
← S 64.524823°
E 18.737183°		 ← 262.71 m → S 64.524823°
E 18.742676°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 64.527186°
E 18.737183°		 ← 262.69 m →
69 022 m²		 S 64.527186°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552055358886719 y=0.736671447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552055358886719 × 216)
    floor (0.552055358886719 × 65536)
    floor (36179.5)     		tx = 36179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736671447753906 × 216)
    floor (0.736671447753906 × 65536)
    floor (48278.5)     		ty = 48278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36179 / 48278 ti = "16/36179/48278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36179/48278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36179 ÷ 216
    36179 ÷ 65536     		x = 0.552047729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48278 ÷ 216
    48278 ÷ 65536     		y = 0.736663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552047729492188 × 2 - 1) × π
    0.104095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32702553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.47332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48700262621414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32702553} λ = 0.32702553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48700262621414))-π/2
    2×atan(0.226049195043573)-π/2
    2×0.222312856625392-π/2
    0.444625713250784-1.57079632675     		φ = -1.12617061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32702553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.737183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12617061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.524823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36179 KachelY 48278 0.32702553 -1.12617061 18.737183 -64.524823
    Oben rechts KachelX + 1 36180 KachelY 48278 0.32712140 -1.12617061 18.742676 -64.524823
    Unten links KachelX 36179 KachelY + 1 48279 0.32702553 -1.12621185 18.737183 -64.527186
    Unten rechts KachelX + 1 36180 KachelY + 1 48279 0.32712140 -1.12621185 18.742676 -64.527186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12617061--1.12621185) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12617061--1.12621185) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32702553-0.32712140) × cos(-1.12617061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430120018145018 × 6371000     		do = 262.712046715149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32702553-0.32712140) × cos(-1.12621185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430082787473728 × 6371000     		du = 262.689306676456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12617061)-sin(-1.12621185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430120018145018-0.430082787473728)×R²
    abs(0.32712140-0.32702553)×3.72306712901338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72306712901338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72306712901338e-05×40589641000000     		ar = 69021.9863129685m²