Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36177 / 39342
↖ ↑ ↗
← S 33.934245°
E 18.726196°		 ← 506.81 m → S 33.934245°
E 18.731690°		 →
↑
506.75 m
↓
↑
506.75 m
↓
S 33.938803°
E 18.726196°		 ← 506.78 m →
256 819 m²		 S 33.938803°
E 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552024841308594 y=0.600318908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552024841308594 × 216)
    floor (0.552024841308594 × 65536)
    floor (36177.5)     		tx = 36177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600318908691406 × 216)
    floor (0.600318908691406 × 65536)
    floor (39342.5)     		ty = 39342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36177 / 39342 ti = "16/36177/39342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36177/39342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36177 ÷ 216
    36177 ÷ 65536     		x = 0.552017211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39342 ÷ 216
    39342 ÷ 65536     		y = 0.600311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552017211914062 × 2 - 1) × π
    0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.20062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630274356204498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32683378} λ = 0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630274356204498))-π/2
    2×atan(0.532445701184439)-π/2
    2×0.489266008475212-π/2
    0.978532016950424-1.57079632675     		φ = -0.59226431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59226431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.934245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36177 KachelY 39342 0.32683378 -0.59226431 18.726196 -33.934245
    Oben rechts KachelX + 1 36178 KachelY 39342 0.32692966 -0.59226431 18.731690 -33.934245
    Unten links KachelX 36177 KachelY + 1 39343 0.32683378 -0.59234385 18.726196 -33.938803
    Unten rechts KachelX + 1 36178 KachelY + 1 39343 0.32692966 -0.59234385 18.731690 -33.938803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59226431--0.59234385) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dl = 506.74933999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59226431--0.59234385) × R
    7.95399999999891e-05 × 6371000     		dr = 506.74933999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32683378-0.32692966) × cos(-0.59226431) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829678776191894 × 6371000     		do = 506.810508361369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32683378-0.32692966) × cos(-0.59234385) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829634371070134 × 6371000     		du = 506.783383427022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59226431)-sin(-0.59234385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829678776191894-0.829634371070134)×R²
    abs(0.32692966-0.32683378)×4.44051217606267e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44051217606267e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44051217606267e-05×40589641000000     		ar = 256819.017981121m²