Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36175 / 39368
↖ ↑ ↗
← S 34.052660°
E 18.715210°		 ← 506.10 m → S 34.052660°
E 18.720703°		 →
↑
506.05 m
↓
↑
506.05 m
↓
S 34.057211°
E 18.715210°		 ← 506.08 m →
256 107 m²		 S 34.057211°
E 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551994323730469 y=0.600715637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551994323730469 × 216)
    floor (0.551994323730469 × 65536)
    floor (36175.5)     		tx = 36175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600715637207031 × 216)
    floor (0.600715637207031 × 65536)
    floor (39368.5)     		ty = 39368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36175 / 39368 ti = "16/36175/39368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36175/39368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36175 ÷ 216
    36175 ÷ 65536     		x = 0.551986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39368 ÷ 216
    39368 ÷ 65536     		y = 0.6007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551986694335938 × 2 - 1) × π
    0.103973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32664203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32664203} λ = 0.32664203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632767074984741))-π/2
    2×atan(0.53112011662679)-π/2
    2×0.488232650423302-π/2
    0.976465300846603-1.57079632675     		φ = -0.59433103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32664203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59433103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.052660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36175 KachelY 39368 0.32664203 -0.59433103 18.715210 -34.052660
    Oben rechts KachelX + 1 36176 KachelY 39368 0.32673791 -0.59433103 18.720703 -34.052660
    Unten links KachelX 36175 KachelY + 1 39369 0.32664203 -0.59441046 18.715210 -34.057211
    Unten rechts KachelX + 1 36176 KachelY + 1 39369 0.32673791 -0.59441046 18.720703 -34.057211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59433103--0.59441046) × R
    7.94299999999915e-05 × 6371000     		dl = 506.048529999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59433103--0.59441046) × R
    7.94299999999915e-05 × 6371000     		dr = 506.048529999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32664203-0.32673791) × cos(-0.59433103) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828523277046262 × 6371000     		do = 506.10466999812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32664203-0.32673791) × cos(-0.59441046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828478797237006 × 6371000     		du = 506.077499440806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59433103)-sin(-0.59441046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828523277046262-0.828478797237006)×R²
    abs(0.32673791-0.32664203)×4.44798092562593e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44798092562593e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44798092562593e-05×40589641000000     		ar = 256106.649603328m²