Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36175 / 37930
↖ ↑ ↗
← S 27.264395°
E 18.715210°		 ← 542.99 m → S 27.264395°
E 18.720703°		 →
↑
543 m
↓
↑
543 m
↓
S 27.269279°
E 18.715210°		 ← 542.96 m →
294 836 m²		 S 27.269279°
E 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551994323730469 y=0.578773498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551994323730469 × 216)
    floor (0.551994323730469 × 65536)
    floor (36175.5)     		tx = 36175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578773498535156 × 216)
    floor (0.578773498535156 × 65536)
    floor (37930.5)     		ty = 37930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36175 / 37930 ti = "16/36175/37930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36175/37930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36175 ÷ 216
    36175 ÷ 65536     		x = 0.551986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37930 ÷ 216
    37930 ÷ 65536     		y = 0.578765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551986694335938 × 2 - 1) × π
    0.103973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32664203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.15753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.49490055167746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32664203} λ = 0.32664203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.49490055167746))-π/2
    2×atan(0.609631531114928)-π/2
    2×0.547471425970395-π/2
    1.09494285194079-1.57079632675     		φ = -0.47585347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32664203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47585347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.264395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36175 KachelY 37930 0.32664203 -0.47585347 18.715210 -27.264395
    Oben rechts KachelX + 1 36176 KachelY 37930 0.32673791 -0.47585347 18.720703 -27.264395
    Unten links KachelX 36175 KachelY + 1 37931 0.32664203 -0.47593870 18.715210 -27.269279
    Unten rechts KachelX + 1 36176 KachelY + 1 37931 0.32673791 -0.47593870 18.720703 -27.269279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47585347--0.47593870) × R
    8.52299999999917e-05 × 6371000     		dl = 543.000329999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47585347--0.47593870) × R
    8.52299999999917e-05 × 6371000     		dr = 543.000329999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32664203-0.32673791) × cos(-0.47585347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888902073140742 × 6371000     		do = 542.987146953049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32664203-0.32673791) × cos(-0.47593870) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888863026282317 × 6371000     		du = 542.963295121791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47585347)-sin(-0.47593870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888902073140742-0.888863026282317)×R²
    abs(0.32673791-0.32664203)×3.90468584243742e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90468584243742e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90468584243742e-05×40589641000000     		ar = 294835.724383704m²