Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36173 / 39471
↖ ↑ ↗
← S 34.520135°
E 18.704224°		 ← 503.24 m → S 34.520135°
E 18.709717°		 →
↑
503.31 m
↓
↑
503.31 m
↓
S 34.524662°
E 18.704224°		 ← 503.22 m →
253 281 m²		 S 34.524662°
E 18.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551963806152344 y=0.602287292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551963806152344 × 216)
    floor (0.551963806152344 × 65536)
    floor (36173.5)     		tx = 36173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602287292480469 × 216)
    floor (0.602287292480469 × 65536)
    floor (39471.5)     		ty = 39471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36173 / 39471 ti = "16/36173/39471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36173/39471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36173 ÷ 216
    36173 ÷ 65536     		x = 0.551956176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39471 ÷ 216
    39471 ÷ 65536     		y = 0.602279663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551956176757812 × 2 - 1) × π
    0.103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32645029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.204559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.642642076306473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32645029} λ = 0.32645029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642642076306473))-π/2
    2×atan(0.525901116003249)-π/2
    2×0.484153150932537-π/2
    0.968306301865075-1.57079632675     		φ = -0.60249002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32645029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.704224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60249002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.520135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36173 KachelY 39471 0.32645029 -0.60249002 18.704224 -34.520135
    Oben rechts KachelX + 1 36174 KachelY 39471 0.32654616 -0.60249002 18.709717 -34.520135
    Unten links KachelX 36173 KachelY + 1 39472 0.32645029 -0.60256902 18.704224 -34.524662
    Unten rechts KachelX + 1 36174 KachelY + 1 39472 0.32654616 -0.60256902 18.709717 -34.524662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60249002--0.60256902) × R
    7.90000000000513e-05 × 6371000     		dl = 503.309000000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60249002--0.60256902) × R
    7.90000000000513e-05 × 6371000     		dr = 503.309000000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32645029-0.32654616) × cos(-0.60249002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823927086689505 × 6371000     		do = 503.244587921669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32645029-0.32654616) × cos(-0.60256902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82388231514847 × 6371000     		du = 503.21724201196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60249002)-sin(-0.60256902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823927086689505-0.82388231514847)×R²
    abs(0.32654616-0.32645029)×4.47715410358818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47715410358818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47715410358818e-05×40589641000000     		ar = 253280.64871301m²