Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36173 / 37931
S 27.269279°
E 18.704224°
← 542.91 m → S 27.269279°
E 18.709717°

542.87 m

542.87 m
S 27.274161°
E 18.704224°
← 542.88 m →
294 723 m²
S 27.274161°
E 18.709717°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551963806152344 y=0.578788757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551963806152344 × 216)
    floor (0.551963806152344 × 65536)
    floor (36173.5)
    tx = 36173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578788757324219 × 216)
    floor (0.578788757324219 × 65536)
    floor (37931.5)
    ty = 37931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36173 / 37931 ti = "16/36173/37931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36173/37931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36173 ÷ 216
    36173 ÷ 65536
    x = 0.551956176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37931 ÷ 216
    37931 ÷ 65536
    y = 0.578781127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.551956176757812 × 2 - 1) × π
    0.103912353515625 × 3.1415926535
    Λ = 0.32645029
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.578781127929688 × 2 - 1) × π
    -0.157562255859375 × 3.1415926535
    Φ = -0.4949964254767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32645029} λ = 0.32645029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4949964254767))-π/2
    2×atan(0.609573086225615)-π/2
    2×0.54742881569682-π/2
    1.09485763139364-1.57079632675
    φ = -0.47593870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32645029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.704224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47593870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.269279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36173 KachelY 37931 0.32645029 -0.47593870 18.704224 -27.269279
    Oben rechts KachelX + 1 36174 KachelY 37931 0.32654616 -0.47593870 18.709717 -27.269279
    Unten links KachelX 36173 KachelY + 1 37932 0.32645029 -0.47602391 18.704224 -27.274161
    Unten rechts KachelX + 1 36174 KachelY + 1 37932 0.32654616 -0.47602391 18.709717 -27.274161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.47593870--0.47602391) × R
    8.52100000000022e-05 × 6371000
    dl = 542.872910000014m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.47593870--0.47602391) × R
    8.52100000000022e-05 × 6371000
    dr = 542.872910000014m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.32645029-0.32654616) × cos(-0.47593870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888863026282317 × 6371000
    do = 542.906665658416m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.32645029-0.32654616) × cos(-0.47602391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888823982132031 × 6371000
    du = 542.882817968931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.47593870)-sin(-0.47602391))×
    abs(λ12)×abs(0.888863026282317-0.888823982132031)×
    abs(0.32654616-0.32645029)×3.90441502858829e-05×
    9.58699999999979e-05×3.90441502858829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90441502858829e-05×40589641000000
    ar = 294722.848490427m²