Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36173 / 104598
↖ ↑ ↗
← S 72.519882°
W 80.647888°		 ← 91.72 m → S 72.519882°
W 80.645142°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.520707°
W 80.647888°		 ← 91.72 m →
8 415 m²		 S 72.520707°
W 80.645142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275981903076172 y=0.798023223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275981903076172 × 217)
    floor (0.275981903076172 × 131072)
    floor (36173.5)     		tx = 36173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798023223876953 × 217)
    floor (0.798023223876953 × 131072)
    floor (104598.5)     		ty = 104598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36173 / 104598 ti = "17/36173/104598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36173/104598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36173 ÷ 217
    36173 ÷ 131072     		x = 0.275978088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104598 ÷ 217
    104598 ÷ 131072     		y = 0.798019409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275978088378906 × 2 - 1) × π
    -0.448043823242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.40757118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798019409179688 × 2 - 1) × π
    -0.596038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87251117295863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40757118} λ = -1.40757118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87251117295863))-π/2
    2×atan(0.153737116187888)-π/2
    2×0.152542810093795-π/2
    0.30508562018759-1.57079632675     		φ = -1.26571071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40757118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.647888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26571071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.519882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36173 KachelY 104598 -1.40757118 -1.26571071 -80.647888 -72.519882
    Oben rechts KachelX + 1 36174 KachelY 104598 -1.40752325 -1.26571071 -80.645142 -72.519882
    Unten links KachelX 36173 KachelY + 1 104599 -1.40757118 -1.26572511 -80.647888 -72.520707
    Unten rechts KachelX + 1 36174 KachelY + 1 104599 -1.40752325 -1.26572511 -80.645142 -72.520707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26571071--1.26572511) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26571071--1.26572511) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40757118--1.40752325) × cos(-1.26571071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300374839427453 × 6371000     		do = 91.7230707285471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40757118--1.40752325) × cos(-1.26572511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30036110437047 × 6371000     		du = 91.7188765636646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26571071)-sin(-1.26572511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300374839427453-0.30036110437047)×R²
    abs(-1.40752325--1.40757118)×1.37350569829886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37350569829886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37350569829886e-05×40589641000000     		ar = 8414.70225285428m²