Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36172 / 39347
↖ ↑ ↗
← S 33.957030°
E 18.698730°		 ← 506.67 m → S 33.957030°
E 18.704224°		 →
↑
506.62 m
↓
↑
506.62 m
↓
S 33.961586°
E 18.698730°		 ← 506.65 m →
256 686 m²		 S 33.961586°
E 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551948547363281 y=0.600395202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551948547363281 × 216)
    floor (0.551948547363281 × 65536)
    floor (36172.5)     		tx = 36172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600395202636719 × 216)
    floor (0.600395202636719 × 65536)
    floor (39347.5)     		ty = 39347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36172 / 39347 ti = "16/36172/39347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36172/39347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36172 ÷ 216
    36172 ÷ 65536     		x = 0.55194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39347 ÷ 216
    39347 ÷ 65536     		y = 0.600387573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55194091796875 × 2 - 1) × π
    0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600387573242188 × 2 - 1) × π
    -0.200775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630753725200699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32635441} λ = 0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630753725200699))-π/2
    2×atan(0.532190524389939)-π/2
    2×0.489067173944969-π/2
    0.978134347889939-1.57079632675     		φ = -0.59266198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59266198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.957030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36172 KachelY 39347 0.32635441 -0.59266198 18.698730 -33.957030
    Oben rechts KachelX + 1 36173 KachelY 39347 0.32645029 -0.59266198 18.704224 -33.957030
    Unten links KachelX 36172 KachelY + 1 39348 0.32635441 -0.59274150 18.698730 -33.961586
    Unten rechts KachelX + 1 36173 KachelY + 1 39348 0.32645029 -0.59274150 18.704224 -33.961586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59266198--0.59274150) × R
    7.95199999999996e-05 × 6371000     		dl = 506.621919999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59266198--0.59274150) × R
    7.95199999999996e-05 × 6371000     		dr = 506.621919999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32635441-0.32645029) × cos(-0.59266198) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829456714855287 × 6371000     		do = 506.674861865251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32635441-0.32645029) × cos(-0.59274150) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.829412294667183 × 6371000     		du = 506.647727727606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59266198)-sin(-0.59274150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829456714855287-0.829412294667183)×R²
    abs(0.32645029-0.32635441)×4.44201881043549e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44201881043549e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44201881043549e-05×40589641000000     		ar = 256685.718094759m²