Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36172 / 37956
↖ ↑ ↗
← S 27.391278°
E 18.698730°		 ← 542.37 m → S 27.391278°
E 18.704224°		 →
↑
542.30 m
↓
↑
542.30 m
↓
S 27.396155°
E 18.698730°		 ← 542.34 m →
294 118 m²		 S 27.396155°
E 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551948547363281 y=0.579170227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551948547363281 × 216)
    floor (0.551948547363281 × 65536)
    floor (36172.5)     		tx = 36172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579170227050781 × 216)
    floor (0.579170227050781 × 65536)
    floor (37956.5)     		ty = 37956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36172 / 37956 ti = "16/36172/37956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36172/37956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36172 ÷ 216
    36172 ÷ 65536     		x = 0.55194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37956 ÷ 216
    37956 ÷ 65536     		y = 0.57916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55194091796875 × 2 - 1) × π
    0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57916259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1583251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497393270457703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32635441} λ = 0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497393270457703))-π/2
    2×atan(0.608113783593061)-π/2
    2×0.546364167746845-π/2
    1.09272833549369-1.57079632675     		φ = -0.47806799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47806799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.391278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36172 KachelY 37956 0.32635441 -0.47806799 18.698730 -27.391278
    Oben rechts KachelX + 1 36173 KachelY 37956 0.32645029 -0.47806799 18.704224 -27.391278
    Unten links KachelX 36172 KachelY + 1 37957 0.32635441 -0.47815311 18.698730 -27.396155
    Unten rechts KachelX + 1 36173 KachelY + 1 37957 0.32645029 -0.47815311 18.704224 -27.396155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47806799--0.47815311) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dl = 542.299519999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47806799--0.47815311) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dr = 542.299519999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32635441-0.32645029) × cos(-0.47806799) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		do = 542.366128242677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32635441-0.32645029) × cos(-0.47815311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887846264865356 × 6371000     		du = 542.342204905433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47806799)-sin(-0.47815311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887885428783309-0.887846264865356)×R²
    abs(0.32645029-0.32635441)×3.91639179532222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91639179532222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91639179532222e-05×40589641000000     		ar = 294118.404380484m²