Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36171 / 37931
↖ ↑ ↗
← S 27.269279°
E 18.693237°		 ← 542.91 m → S 27.269279°
E 18.698730°		 →
↑
542.87 m
↓
↑
542.87 m
↓
S 27.274161°
E 18.693237°		 ← 542.88 m →
294 723 m²		 S 27.274161°
E 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551933288574219 y=0.578788757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551933288574219 × 216)
    floor (0.551933288574219 × 65536)
    floor (36171.5)     		tx = 36171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578788757324219 × 216)
    floor (0.578788757324219 × 65536)
    floor (37931.5)     		ty = 37931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36171 / 37931 ti = "16/36171/37931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36171/37931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36171 ÷ 216
    36171 ÷ 65536     		x = 0.551925659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37931 ÷ 216
    37931 ÷ 65536     		y = 0.578781127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551925659179688 × 2 - 1) × π
    0.103851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32625854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578781127929688 × 2 - 1) × π
    -0.157562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.4949964254767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32625854} λ = 0.32625854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4949964254767))-π/2
    2×atan(0.609573086225615)-π/2
    2×0.54742881569682-π/2
    1.09485763139364-1.57079632675     		φ = -0.47593870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32625854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.693237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47593870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.269279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36171 KachelY 37931 0.32625854 -0.47593870 18.693237 -27.269279
    Oben rechts KachelX + 1 36172 KachelY 37931 0.32635441 -0.47593870 18.698730 -27.269279
    Unten links KachelX 36171 KachelY + 1 37932 0.32625854 -0.47602391 18.693237 -27.274161
    Unten rechts KachelX + 1 36172 KachelY + 1 37932 0.32635441 -0.47602391 18.698730 -27.274161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47593870--0.47602391) × R
    8.52100000000022e-05 × 6371000     		dl = 542.872910000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47593870--0.47602391) × R
    8.52100000000022e-05 × 6371000     		dr = 542.872910000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32625854-0.32635441) × cos(-0.47593870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888863026282317 × 6371000     		do = 542.906665658416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32625854-0.32635441) × cos(-0.47602391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888823982132031 × 6371000     		du = 542.882817968931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47593870)-sin(-0.47602391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888863026282317-0.888823982132031)×R²
    abs(0.32635441-0.32625854)×3.90441502858829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90441502858829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90441502858829e-05×40589641000000     		ar = 294722.848490427m²