Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36170 / 39348
↖ ↑ ↗
← S 33.961586°
E 18.687744°		 ← 506.59 m → S 33.961586°
E 18.693237°		 →
↑
506.62 m
↓
↑
506.62 m
↓
S 33.966142°
E 18.687744°		 ← 506.57 m →
256 645 m²		 S 33.966142°
E 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551918029785156 y=0.600410461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551918029785156 × 216)
    floor (0.551918029785156 × 65536)
    floor (36170.5)     		tx = 36170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600410461425781 × 216)
    floor (0.600410461425781 × 65536)
    floor (39348.5)     		ty = 39348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36170 / 39348 ti = "16/36170/39348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36170/39348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36170 ÷ 216
    36170 ÷ 65536     		x = 0.551910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39348 ÷ 216
    39348 ÷ 65536     		y = 0.60040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551910400390625 × 2 - 1) × π
    0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.630849598999939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32616267} λ = 0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630849598999939))-π/2
    2×atan(0.532139503708259)-π/2
    2×0.489027413426346-π/2
    0.978054826852693-1.57079632675     		φ = -0.59274150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59274150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.961586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36170 KachelY 39348 0.32616267 -0.59274150 18.687744 -33.961586
    Oben rechts KachelX + 1 36171 KachelY 39348 0.32625854 -0.59274150 18.693237 -33.961586
    Unten links KachelX 36170 KachelY + 1 39349 0.32616267 -0.59282102 18.687744 -33.966142
    Unten rechts KachelX + 1 36171 KachelY + 1 39349 0.32625854 -0.59282102 18.693237 -33.966142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59274150--0.59282102) × R
    7.95199999999996e-05 × 6371000     		dl = 506.621919999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59274150--0.59282102) × R
    7.95199999999996e-05 × 6371000     		dr = 506.621919999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32616267-0.32625854) × cos(-0.59274150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.829412294667183 × 6371000     		do = 506.59488587034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32616267-0.32625854) × cos(-0.59282102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.829367869234347 × 6371000     		du = 506.567751359288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59274150)-sin(-0.59282102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829412294667183-0.829367869234347)×R²
    abs(0.32625854-0.32616267)×4.44254328353377e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44254328353377e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44254328353377e-05×40589641000000     		ar = 256645.200407793m²