Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3617 / 2592
↖ ↑ ↗
← N 76.679785°
W100.524903°		 ← 562.91 m → N 76.679785°
W100.502930°		 →
↑
563.01 m
↓
↑
563.01 m
↓
N 76.674722°
W100.524903°		 ← 563.12 m →
316 983 m²		 N 76.674722°
W100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220794677734375 y=0.158233642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220794677734375 × 214)
    floor (0.220794677734375 × 16384)
    floor (3617.5)     		tx = 3617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158233642578125 × 214)
    floor (0.158233642578125 × 16384)
    floor (2592.5)     		ty = 2592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3617 / 2592 ti = "14/3617/2592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3617/2592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3617 ÷ 214
    3617 ÷ 16384     		x = 0.22076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2592 ÷ 214
    2592 ÷ 16384     		y = 0.158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158203125 × 2 - 1) × π
    0.68359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75449053} λ = -1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14757310297852))-π/2
    2×atan(8.56404909113894)-π/2
    2×1.45455552153051-π/2
    2.90911104306101-1.57079632675     		φ = 1.33831472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33831472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.679785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3617 KachelY 2592 -1.75449053 1.33831472 -100.524903 76.679785
    Oben rechts KachelX + 1 3618 KachelY 2592 -1.75410703 1.33831472 -100.502930 76.679785
    Unten links KachelX 3617 KachelY + 1 2593 -1.75449053 1.33822635 -100.524903 76.674722
    Unten rechts KachelX + 1 3618 KachelY + 1 2593 -1.75410703 1.33822635 -100.502930 76.674722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33831472-1.33822635) × R
    8.83700000000598e-05 × 6371000     		dl = 563.005270000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33831472-1.33822635) × R
    8.83700000000598e-05 × 6371000     		dr = 563.005270000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75449053--1.75410703) × cos(1.33831472) × R
    0.000383500000000092 × 0.230393076212091 × 6371000     		do = 562.914449657998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75449053--1.75410703) × cos(1.33822635) × R
    0.000383500000000092 × 0.230479067951438 × 6371000     		du = 563.124551425922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33831472)-sin(1.33822635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230393076212091-0.230479067951438)×R²
    abs(-1.75410703--1.75449053)×8.5991739346758e-05×R²
    0.000383500000000092×8.5991739346758e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.5991739346758e-05×40589641000000     		ar = 316982.946124282m²