Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36166 / 103245
↖ ↑ ↗
← S 71.368477°
W 80.667114°		 ← 97.58 m → S 71.368477°
W 80.664367°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 71.369354°
W 80.667114°		 ← 97.57 m →
9 518 m²		 S 71.369354°
W 80.664367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275928497314453 y=0.787700653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275928497314453 × 217)
    floor (0.275928497314453 × 131072)
    floor (36166.5)     		tx = 36166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787700653076172 × 217)
    floor (0.787700653076172 × 131072)
    floor (103245.5)     		ty = 103245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36166 / 103245 ti = "17/36166/103245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36166/103245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36166 ÷ 217
    36166 ÷ 131072     		x = 0.275924682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103245 ÷ 217
    103245 ÷ 131072     		y = 0.787696838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.448150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40790674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787696838378906 × 2 - 1) × π
    -0.575393676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.8076525477727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40790674} λ = -1.40790674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8076525477727))-π/2
    2×atan(0.164038758334362)-π/2
    2×0.162590709137314-π/2
    0.325181418274629-1.57079632675     		φ = -1.24561491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40790674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.667114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24561491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.368477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36166 KachelY 103245 -1.40790674 -1.24561491 -80.667114 -71.368477
    Oben rechts KachelX + 1 36167 KachelY 103245 -1.40785880 -1.24561491 -80.664367 -71.368477
    Unten links KachelX 36166 KachelY + 1 103246 -1.40790674 -1.24563022 -80.667114 -71.369354
    Unten rechts KachelX + 1 36167 KachelY + 1 103246 -1.40785880 -1.24563022 -80.664367 -71.369354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24561491--1.24563022) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24561491--1.24563022) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40790674--1.40785880) × cos(-1.24561491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319480700358972 × 6371000     		do = 97.5776293227932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40790674--1.40785880) × cos(-1.24563022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319466192676024 × 6371000     		du = 97.5731983029933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24561491)-sin(-1.24563022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319480700358972-0.319466192676024)×R²
    abs(-1.40785880--1.40790674)×1.45076829473068e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45076829473068e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45076829473068e-05×40589641000000     		ar = 9517.50683918525m²