Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36165 / 39399
↖ ↑ ↗
← S 34.193630°
E 18.660279°		 ← 505.21 m → S 34.193630°
E 18.665771°		 →
↑
505.22 m
↓
↑
505.22 m
↓
S 34.198173°
E 18.660279°		 ← 505.18 m →
255 235 m²		 S 34.198173°
E 18.665771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551841735839844 y=0.601188659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551841735839844 × 216)
    floor (0.551841735839844 × 65536)
    floor (36165.5)     		tx = 36165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601188659667969 × 216)
    floor (0.601188659667969 × 65536)
    floor (39399.5)     		ty = 39399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36165 / 39399 ti = "16/36165/39399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36165/39399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36165 ÷ 216
    36165 ÷ 65536     		x = 0.551834106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39399 ÷ 216
    39399 ÷ 65536     		y = 0.601181030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551834106445312 × 2 - 1) × π
    0.103668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32568330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601181030273438 × 2 - 1) × π
    -0.202362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.635739162761185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32568330} λ = 0.32568330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.635739162761185))-π/2
    2×atan(0.529543924471309)-π/2
    2×0.487002453662298-π/2
    0.974004907324597-1.57079632675     		φ = -0.59679142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32568330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.660279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59679142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.193630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36165 KachelY 39399 0.32568330 -0.59679142 18.660279 -34.193630
    Oben rechts KachelX + 1 36166 KachelY 39399 0.32577917 -0.59679142 18.665771 -34.193630
    Unten links KachelX 36165 KachelY + 1 39400 0.32568330 -0.59687072 18.660279 -34.198173
    Unten rechts KachelX + 1 36166 KachelY + 1 39400 0.32577917 -0.59687072 18.665771 -34.198173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59679142--0.59687072) × R
    7.93000000000044e-05 × 6371000     		dl = 505.220300000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59679142--0.59687072) × R
    7.93000000000044e-05 × 6371000     		dr = 505.220300000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32568330-0.32577917) × cos(-0.59679142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827143063942897 × 6371000     		do = 505.208867496638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32568330-0.32577917) × cos(-0.59687072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.827098495422906 × 6371000     		du = 505.181645589701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59679142)-sin(-0.59687072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827143063942897-0.827098495422906)×R²
    abs(0.32577917-0.32568330)×4.45685199905732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45685199905732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45685199905732e-05×40589641000000     		ar = 255234.89920324m²