Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36165 / 103243
↖ ↑ ↗
← S 71.366722°
W 80.669861°		 ← 97.59 m → S 71.366722°
W 80.667114°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 71.367599°
W 80.669861°		 ← 97.58 m →
9 518 m²		 S 71.367599°
W 80.667114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275920867919922 y=0.787685394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275920867919922 × 217)
    floor (0.275920867919922 × 131072)
    floor (36165.5)     		tx = 36165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787685394287109 × 217)
    floor (0.787685394287109 × 131072)
    floor (103243.5)     		ty = 103243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36165 / 103243 ti = "17/36165/103243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36165/103243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36165 ÷ 217
    36165 ÷ 131072     		x = 0.275917053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103243 ÷ 217
    103243 ÷ 131072     		y = 0.787681579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275917053222656 × 2 - 1) × π
    -0.448165893554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40795468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787681579589844 × 2 - 1) × π
    -0.575363159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80755667397346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40795468} λ = -1.40795468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80755667397346))-π/2
    2×atan(0.164054486107275)-π/2
    2×0.162606024747339-π/2
    0.325212049494677-1.57079632675     		φ = -1.24558428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40795468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.669861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24558428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.366722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36165 KachelY 103243 -1.40795468 -1.24558428 -80.669861 -71.366722
    Oben rechts KachelX + 1 36166 KachelY 103243 -1.40790674 -1.24558428 -80.667114 -71.366722
    Unten links KachelX 36165 KachelY + 1 103244 -1.40795468 -1.24559959 -80.669861 -71.367599
    Unten rechts KachelX + 1 36166 KachelY + 1 103244 -1.40790674 -1.24559959 -80.667114 -71.367599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24558428--1.24559959) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24558428--1.24559959) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40795468--1.40790674) × cos(-1.24558428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319509724976038 × 6371000     		do = 97.5864941879388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40795468--1.40790674) × cos(-1.24559959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319495217442913 × 6371000     		du = 97.5820632138985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24558428)-sin(-1.24559959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319509724976038-0.319495217442913)×R²
    abs(-1.40790674--1.40795468)×1.450753312493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.450753312493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.450753312493e-05×40589641000000     		ar = 9518.37152057586m²