Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36162 / 39359
↖ ↑ ↗
← S 34.011689°
E 18.643799°		 ← 506.35 m → S 34.011689°
E 18.649292°		 →
↑
506.30 m
↓
↑
506.30 m
↓
S 34.016242°
E 18.643799°		 ← 506.32 m →
256 359 m²		 S 34.016242°
E 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551795959472656 y=0.600578308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551795959472656 × 216)
    floor (0.551795959472656 × 65536)
    floor (36162.5)     		tx = 36162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600578308105469 × 216)
    floor (0.600578308105469 × 65536)
    floor (39359.5)     		ty = 39359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36162 / 39359 ti = "16/36162/39359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36162/39359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36162 ÷ 216
    36162 ÷ 65536     		x = 0.551788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39359 ÷ 216
    39359 ÷ 65536     		y = 0.600570678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551788330078125 × 2 - 1) × π
    0.10357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32539567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600570678710938 × 2 - 1) × π
    -0.201141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63190421079158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32539567} λ = 0.32539567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63190421079158))-π/2
    2×atan(0.531578598933232)-π/2
    2×0.488590188296203-π/2
    0.977180376592407-1.57079632675     		φ = -0.59361595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32539567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.643799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59361595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.011689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36162 KachelY 39359 0.32539567 -0.59361595 18.643799 -34.011689
    Oben rechts KachelX + 1 36163 KachelY 39359 0.32549155 -0.59361595 18.649292 -34.011689
    Unten links KachelX 36162 KachelY + 1 39360 0.32539567 -0.59369542 18.643799 -34.016242
    Unten rechts KachelX + 1 36163 KachelY + 1 39360 0.32549155 -0.59369542 18.649292 -34.016242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59361595--0.59369542) × R
    7.94699999999704e-05 × 6371000     		dl = 506.303369999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59361595--0.59369542) × R
    7.94699999999704e-05 × 6371000     		dr = 506.303369999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32539567-0.32549155) × cos(-0.59361595) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828923477535389 × 6371000     		do = 506.3491330592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32539567-0.32549155) × cos(-0.59369542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.828879022418254 × 6371000     		du = 506.321977585105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59361595)-sin(-0.59369542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828923477535389-0.828879022418254)×R²
    abs(0.32549155-0.32539567)×4.44551171346896e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44551171346896e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44551171346896e-05×40589641000000     		ar = 256359.398145469m²