Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36160 / 39373
↖ ↑ ↗
← S 34.075412°
E 18.632813°		 ← 505.92 m → S 34.075412°
E 18.638306°		 →
↑
505.92 m
↓
↑
505.92 m
↓
S 34.079962°
E 18.632813°		 ← 505.89 m →
255 947 m²		 S 34.079962°
E 18.638306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551765441894531 y=0.600791931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551765441894531 × 216)
    floor (0.551765441894531 × 65536)
    floor (36160.5)     		tx = 36160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600791931152344 × 216)
    floor (0.600791931152344 × 65536)
    floor (39373.5)     		ty = 39373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36160 / 39373 ti = "16/36160/39373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36160/39373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36160 ÷ 216
    36160 ÷ 65536     		x = 0.5517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39373 ÷ 216
    39373 ÷ 65536     		y = 0.600784301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600784301757812 × 2 - 1) × π
    -0.201568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.633246443980942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32520393} λ = 0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633246443980942))-π/2
    2×atan(0.530865575124148)-π/2
    2×0.488034092892238-π/2
    0.976068185784475-1.57079632675     		φ = -0.59472814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59472814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.075412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36160 KachelY 39373 0.32520393 -0.59472814 18.632813 -34.075412
    Oben rechts KachelX + 1 36161 KachelY 39373 0.32529980 -0.59472814 18.638306 -34.075412
    Unten links KachelX 36160 KachelY + 1 39374 0.32520393 -0.59480755 18.632813 -34.079962
    Unten rechts KachelX + 1 36161 KachelY + 1 39374 0.32529980 -0.59480755 18.638306 -34.079962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59472814--0.59480755) × R
    7.9410000000002e-05 × 6371000     		dl = 505.921110000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59472814--0.59480755) × R
    7.9410000000002e-05 × 6371000     		dr = 505.921110000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32520393-0.32529980) × cos(-0.59472814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82830084814437 × 6371000     		do = 505.916027927197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32520393-0.32529980) × cos(-0.59480755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.828256353412659 × 6371000     		du = 505.888851089239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59472814)-sin(-0.59480755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82830084814437-0.828256353412659)×R²
    abs(0.32529980-0.32520393)×4.44947317111977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44947317111977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44947317111977e-05×40589641000000     		ar = 255946.723882247m²